수학2_함수의 극한 활용_삼각함수 활용_난이도 중

중심이 $\rm O$ 이고, 두 점 $\rm A, \; B$ 를 지름의 양 끝으로 하며 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 그림과 같이 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 점 $\rm O$ 를 지나고 직선 $\rm AP$ 와 평행한 직선이 선분 $\rm PB$ 와 만나는 점을 $\rm Q$, 호 $\rm PB$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. $\angle \rm PAB= \theta \;\; \left (0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )$ 라 하고, 점 $\rm Q$ 와 점 $\rm R$ 를 지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta ^4} = \dfrac{q}{p} \pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. ( 단, $\overline{\rm QR} <1$ 이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 정수이다.) 

정답 $17$