미적분과 통계기본_이항계수의 성질_난이도 중

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 등식 \[\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{_n {\rm C} _k }{_{n+4} {\rm C} _k} = \dfrac{n+5}{5}\] 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

(1) \(n=1\) 일 때,

     (좌변) \(=\dfrac{_1 {\rm C}_0}{_5 {\rm C} _0} + \dfrac{_1 {\rm C} _1}{_5 {\rm C} _1}=\dfrac{6}{5}\),  (우변) \(= \dfrac{1+5}{5}=\dfrac{6}{5}\)

     이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) \(n=m\) 일 때, 등식

     \(\sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_m {\rm C} _k}{_{m+4} {\rm C} _k} = \dfrac{m+5}{5}\) 가 성립한다고 가정하자.

     \(n=m+1\) 일 때, \(\sum \limits_{k=1}^{m+1} \dfrac{ _{m+1} {\rm C} _k}{_{m+5} {\rm C} _k} = ( 가 )+\sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_{m+1} {\rm C} _{k+1}}{_{m+5} {\rm C} _{k+1}} \) 이다.

     자연수 \(l\) 에 대하여  \(_{l+1} {\rm C} _{k+1} = (나) \cdot \; _l {\rm C} _k \;\; (0 \leq k \leq l)\) 이므로 

 

     \(\sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_{m+1} {\rm C} _{k+1}}{_{m+5} {\rm C} _{k+1}} = (다) \times \sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{ _m {\rm C} _k}{_{m+4} {\rm C} _k}\)

 

     \(\sum \limits_{k=0}^{m+1} \dfrac{_{m+1} {\rm C} _k}{_{m+5} {\rm C} _k} = (가) +(다) \times \sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_m {\rm C}_k}{_{m+4} {\rm C} _k} = \dfrac{m+6}{5}\) 이다.

 

     그러므로 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

 

위의 과정에서 \((가),\; (나),\;(다) \) 에 알맞은 것은?

 

 

	\((가)\)	\((나)\)	\((다)\)
①	\(1\)	\(\dfrac{l+2}{k+2}\)	\(\dfrac{m+1}{m+4}\)
②	\(1\)	\(\dfrac{l+1}{k+1}\)	\(\dfrac{m+1}{m+5}\)
③	\(1\)	\(\dfrac{l+1}{k+1}\)	\(\dfrac{m+1}{m+4}\)
④	\(m+1\)	\(\dfrac{l+1}{k+1}\)	\(\dfrac{m+1}{m+5}\)
⑤	\(m+1\)	\(\dfrac{l+2}{k+2}\)	\(\dfrac{m+1}{m+4}\)

 

 

 

정답 ②