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미적분과 통계기본_이항계수의 성질_난이도 중 본문

(9차) 확률과 통계 문제풀이/경우의 수

미적분과 통계기본_이항계수의 성질_난이도 중

수악중독 2013. 7. 11. 16:45

다음은 모든 자연수 nn 에 대하여 등식 k=1nnCkn+4Ck=n+55\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{_n {\rm C} _k }{_{n+4} {\rm C} _k} = \dfrac{n+5}{5} 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

(1) n=1n=1 일 때,

     (좌변) =1C05C0+1C15C1=65=\dfrac{_1 {\rm C}_0}{_5 {\rm C} _0} + \dfrac{_1 {\rm C} _1}{_5 {\rm C} _1}=\dfrac{6}{5},  (우변) =1+55=65= \dfrac{1+5}{5}=\dfrac{6}{5}

     이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) n=mn=m 일 때, 등식

     k=0mmCkm+4Ck=m+55\sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_m {\rm C} _k}{_{m+4} {\rm C} _k} = \dfrac{m+5}{5} 가 성립한다고 가정하자.

     n=m+1n=m+1 일 때, k=1m+1m+1Ckm+5Ck=()+k=0mm+1Ck+1m+5Ck+1\sum \limits_{k=1}^{m+1} \dfrac{ _{m+1} {\rm C} _k}{_{m+5} {\rm C} _k} = ( 가 )+\sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_{m+1} {\rm C} _{k+1}}{_{m+5} {\rm C} _{k+1}} 이다.

     자연수 ll 에 대하여  l+1Ck+1=()   lCk    (0kl)_{l+1} {\rm C} _{k+1} = (나) \cdot \; _l {\rm C} _k \;\; (0 \leq k \leq l) 이므로 

 

     k=0mm+1Ck+1m+5Ck+1=()×k=0mmCkm+4Ck\sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_{m+1} {\rm C} _{k+1}}{_{m+5} {\rm C} _{k+1}} = (다) \times \sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{ _m {\rm C} _k}{_{m+4} {\rm C} _k}

 

     k=0m+1m+1Ckm+5Ck=()+()×k=0mmCkm+4Ck=m+65\sum \limits_{k=0}^{m+1} \dfrac{_{m+1} {\rm C} _k}{_{m+5} {\rm C} _k} = (가) +(다) \times \sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_m {\rm C}_k}{_{m+4} {\rm C} _k} = \dfrac{m+6}{5} 이다.

 

     그러므로 모든 자연수 nn 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

 

위의 과정에서 (),  (),  ()(가),\; (나),\;(다) 에 알맞은 것은?

 

 

 

 ()(가)

 

()(나)

 

()(다)

 

 

11

 

l+2k+2\dfrac{l+2}{k+2}

 

m+1m+4\dfrac{m+1}{m+4}

 

 ②

11

 

l+1k+1\dfrac{l+1}{k+1}

 

m+1m+5\dfrac{m+1}{m+5}

 

 ③

11

 

 l+1k+1\dfrac{l+1}{k+1}

 

m+1m+4\dfrac{m+1}{m+4}

 

 ④

m+1m+1

 

 l+1k+1\dfrac{l+1}{k+1}

 

m+1m+5\dfrac{m+1}{m+5}

 

 ⑤

m+1m+1

 l+2k+2\dfrac{l+2}{k+2}

m+1m+4\dfrac{m+1}{m+4}

 

 

 

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