미적분과 통계기본_적분_구분구적법_난이도 중

함수 \(f(x)=x^2 +ax+b\; (a \ge 0,\; b \ge 0 )\) 가 있다. 그림과 같이 \(2\) 이상인 자연수 \(n\) 에 대하여 닫힌구간 \([0,\;1]\) 을 \(n\) 등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례로 \(0=x_0 ,\; x_1 ,\; x_2 ,\; \cdots , \; x_{n-1} ,\; x_n =1\) 이라하자. 닫힌구간 \([x_{k-1} ,\; x_k ]\) 를 밑변으로 하고 높이가 \(f(x_k )\) 인 직사각형의 넓이를 \(A_k\) 라 하자. \((k=1,\;2,\;3,\;\cdots,\; n)\)

 

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이 \(A_1 +A_n = \dfrac{7n^2+1}{n^3}\) 일 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{8k}{n} A_k \) 의 값을 구하시오.

 

 

정답 14