미적분과 통계기본_적분_구분구적법_난이도 중

함수 $f(x)=x^2 +ax+b\; (a \ge 0,\; b \ge 0 )$ 가 있다. 그림과 같이 $2$ 이상인 자연수 $n$ 에 대하여 닫힌구간 $[0,\;1]$ 을 $n$ 등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례로 $0=x_0 ,\; x_1 ,\; x_2 ,\; \cdots , \; x_{n-1} ,\; x_n =1$ 이라하자. 닫힌구간 $[x_{k-1} ,\; x_k ]$ 를 밑변으로 하고 높이가 $f(x_k )$ 인 직사각형의 넓이를 $A_k$ 라 하자. $(k=1,\;2,\;3,\;\cdots,\; n)$

 

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이 $A_1 +A_n = \dfrac{7n^2+1}{n^3}$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{8k}{n} A_k$ 의 값을 구하시오.

 

 

정답 14