수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1,\;2,\;3,\;\cdots,\;2n\) 인 동심원이 있다.

<1단계> 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 내부의 \(1\) 사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가
             \(1\) 인 원과 반지름의 길이가 \(2\) 인 원 사이의 \(2,\;3,\;4\) 사분면에도 검은색을 칠한
             다. 
<2단계> 반지름의 길이가 \(2\) 인 원과 반지름의 길이가 \(3\) 인 원 사이의 \(1\) 사분면에 검은색
             을 칠하고, 반지름의 길이가 \(3\) 인 원과 반지름의 길이가 \(4\) 인 원 사이의 \(2,\;3,\;4\)
             사분면에도 검은색을 칠한다.\[\vdots\]<\(n\)단계> 반지름의 길이가 \(2n-2\) 인 원과 반지름의 길이가 \(2n-1\) 인 원 사이의
             \(1\) 사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 \(2n-1\) 인 원과 반지름의
             길이가 \(2n\) 인 원 사이의 \(2,\;3,\;4\) 사분면에도 검은색을 칠한다.  

이와 같이 \(n\) 단계까지 검은색으로 칠한 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{n^2} \) 의 값은?

① \(\dfrac{3}{4}\pi\)          ②\(\pi\)          ③ \(\dfrac{4}{3}\pi\)          ④ \(\dfrac{3}{2}\pi\)          ⑤ \(2\pi\)  

정답 ⑤