수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 그림과 같이 두 선분 $\rm AD,\; DC$ 의 중점을 각각 $\rm P_1 ,\; Q_1$ 이라 하고, 두 선분 $\rm AQ_1 ,\; CP_1$ 의 교점을 $\rm D_1$ 이라 하자. 이때, 사각형 $\rm DP_1 D_1 Q_1$ 의 넓이를 $S_1$ 이라 하자. 선분 $\rm BD_1$ 을 대각선으로 하는 정사각형을 $\rm BC_1 D_1 A_1$ 이라 하자. 두 선분 $\rm A_1 D_1 , \; D_1 C_1$ 의 중점을 각각 $\rm P_2 ,\; Q_2$ 라 하고, 두 선분 $\rm A_1 Q_2 ,\; C_1 P_2$ 의 교점을 $\rm D_2$ 라 하자. 이때, 사각형 $\rm D_1 P_2 D_2 Q_2$ 의 넓이를 $S_2$ 라 하자. 선분 $\rm BD_2$ 를 대각선으로 하는 정사각형을 $\rm BC_2 D_2 A_2$ 라 하자. 두 선분 $\rm A_2 D_2 ,\; D_2 C_2$ 의 중점을 각각 $\rm P_3 ,\; Q_3$ 이라 하고, 두 선분 $\rm A_2 Q_3 ,\; C_2 P_3$ 의 교점을 $\rm D_3$ 이라 하자. 이때, 사각형 $\rm D_2 P_2 D_3 Q_3$ 의 넓이를 $S_3$ 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 $n$ 번째 사각형의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

 

① $\dfrac{24}{5}$          ② $\dfrac{16}{3}$          ③ $\dfrac{27}{5}$          ④ $\dfrac{20}{3}$          ⑤ $\dfrac{36}{5}$

정답 ①