수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

좌표평면에 원 \({\rm C}_1 \;:\;(x-4)^2 +y^2 =1\) 이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 \(\rm C_1\) 에 기울기가 양수인 접선 \(l\) 을 그었을 때 생기는 접점을 \(\rm P_1\) 이라 하자. 중심이 직선 \(l\) 위에 있고 점 \(\rm P_1\) 을 지나며 \(x\) 축에 접하는 원을 \(\rm C_2\) 라 하고 이 원과 \(x\) 축의 접점을 \(\rm P_2\) 라 하자. 중심이 \(x\) 축 위에 있고 점 \(\rm P_2\) 를 지나며 직선 \(l\) 에 접하는 원을 \(\rm C_3\) 이라 하고 이 원과 직선 \(l\) 의 접점을 \(\rm P_3\) 이라 하자. 중심이 직선 \(l\) 위에 있고 점 \(\rm P_3\) 을 지나며 \(x\) 축에 접하는 원을 \(\rm C_4\) 라 하고 이 원과 \(x\) 축의 접점을 \(\rm P_4\) 라 하자.
이와 같은 과정을 계속할 때, 원 \(\rm C_{\it n}\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?
(단, 원 \(\rm C_{{\it n}+1}\) 의 반지름의 길이는 원 \(\rm C_{\it n}\) 의 반지름의 길이보다 작다.)  

 

① \(\dfrac{3}{2}\pi\)          ② \(2\pi\)           ③ \(\dfrac{5}{2}\pi\)          ④ \(3\pi\)          ⑤ \(\dfrac{7}{2}\pi\)

정답 ③