미분계수와 도함수

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미분계수와 도함수 본문

(9차) 미적분 I 개념정리

미분계수와 도함수

수악중독 2017. 1. 25. 23:40

평균변화율과 순간변화율

미분계수

도함수

곱의 미분법

$r(x)=f(x)g(x)$ 일 때, $r'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

먼저 도함수의 정의를 이용하여 $r'(x)$ 를 표현해 보자.

r'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{r(x+h)-r(x)}{h}

이제 $r(x)$ 를 모두 $f(x)g(x)$ 로 바꾸고 식을 약간 변형해 보자.

$\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) - f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ \{ f(x+h)-f(x) \} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \{ g(x+h)-g(x) \} }{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) \right \} + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{aligned}$

이때, $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)$ , $\lim \limits_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$ , $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)$ 이므로

$\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim \limits_{h \to 0} g(x+h) + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\[10pt] &= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \end{aligned}$