수악중독

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x)=x^3+3ax^2-9a^2x+4$$라 하자. 직선 $y=5$이 곡선 $y=f(x)$에 접할 때, $f(2)$의 값은? ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기정답 ④

상수 $a$ $(a > 1)$에 대하여 곡선 $y = a^x - 2$ 위의 점 중 제$4$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, 곡선 $y = a^x - 2$의 점근선과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}}$이고, 삼각형 $\mathrm{AOC}$의 넓이가 $8$일 때, $a \times \overline{\mathrm{OB}}$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) ① $2^{\frac{13}{6}}$ ② $2^{\frac{7}{3}}$ ③ $2^{\frac{5}{2}}$ ..

시각 $t=0$일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있다. 실수 $k$에 대하여 시각이 $t$ $(t \ge 0)$일 때 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v(t)$가 $$v(t) = t^2 - kt + 4$$이다. ⟨보기⟩에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $k=0$이면, 시각 $t=1$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $\dfrac{13}{3}$이다. ㄴ. $k=3$이면, 출발한 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 한 번 바뀐다. ㄷ. $k=5$이면, 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $3$이다.① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ..

등비수열 $\{a_n\}$이 $$2(a_1 + a_4 + a_7) = a_4 + a_7 + a_{10} = 6$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은? ① $\dfrac{22}{7}$ ② $\dfrac{24}{7}$ ③ $\dfrac{26}{7}$ ④ $\dfrac{30}{7}$ ⑤ $\dfrac{32}{7}$ 더보기정답 ②

함수 $f(x) = x^2 - 4x - 3$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, \;-6)$에서의 접선을 $l$이라 하고, 함수 $g(x) = \left (x^3 - 2x \right )f(x)$에 대하여 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(1, \;6)$에서의 접선을 $m$이라 하자. 두 직선 $l, \;m$과 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① $21$ ② $28$ ③ $35$ ④ $42$ ⑤ $49$ 더보기정답 ⑤

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=3$, $\overline{\mathrm{BC}}=4$이고 $\angle \mathrm{B} = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AD}}$인 원이 선분 $\mathrm{AC}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$, 직선 $\mathrm{AB}$가 이 원과 만나는 점 중 $\mathrm{D}$가 아닌 점을 $\mathrm{F}$라 하고, 호 $\mathrm{EF}$ 위의 점 $\mathrm{G}$를 $\overline{\mathrm..

함수 $f(x)$가 $$f(x)=\begin{cases} -x^2 & (x① $\dfrac{9}{2}$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $\dfrac{13}{2}$ ④ $\dfrac{15}{2}$ ⑤ $\dfrac{17}{2}$ 더보기정답 ④

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. - $a_1 = 7$- $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = \frac{2}{3} a_n + \frac{1}{6} n^2 - \frac{1}{6} n + 10$$이다. 다음은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1}$ 의 값을 구하는 과정이다. $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k - \sum_{k=1}^n a_k$ 이므로$$a_{n+1} = \frac{2}{3} (a_{n+1} - a_n) + \boxed{\text{ (가) }}$$이고, 이..

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} -f(x) & (x (가) 모든 실수 $a$에 대하여 $\lim \limits_{x \to a} \dfac{g(x)}{x(x-2)}$의 값이 존재한다.(나) $\lim \limits_{x \to m+} \dfrac{g(x)}{x(x-2)}$의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 $m$의 집합은 $\left \{g(-1), \; -\dfrac{7}{2}g(1) \right \}$이다. $g(-5)$의 값을 구하시오., (단, $g(-1) \ne -\dfrac{7}{2}g(1)$) 더보기정답 $65$

곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$ 위의 점 $\mathrm{A}(a, \; b)$와 곡선 $y=4^{x-1}-\dfrac{1}{2}$ 위의 점 $\mathrm{B}$가 제$1$사분면에 있다. 점 $\mathrm{A}$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점이 직선 $\mathrm{OB}$ 위에 있고 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $\left (\dfrac{77}{8}, \; \dfrac{133}{8} \right )$일 때, $a \times b = \dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $p$ 와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $457$