수악중독

$x \ge \dfrac{1}{100}$ 인 실수 $x$ 에 대하여 $\log x $ 의 가수를 $f(x)$ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 를 좌표평면에 나타낸 영역을 $R$ 라 하자. (가) $a10$ 이다.(나) 함수 $y=9f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=ax+b$ 가 한 점에서만 만난다. 영역 $R$ 에 속하는 점 $(a, \;b)$ 에 대하여 $(a+20)^2+b^2$ 의 최솟값은 $100 \times \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $222$

좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y=3^x-n$, $y=\log_3(x+n)$ 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$

그림과 같이 세 로그함수 \(f(x)=k \log x\), \(g(x)=k^2 \log x\), \(h(x)=4k^2 \log x\) 의 그래프가 있다. 점 \(\rm P(2, \;0)\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 두 곡선 \(y=g(x), \; y=h(x)\) 와 만나는 점의 \(y\) 좌표를 각각 \(p ,\; q\) 라 하자. 직선 \(y=p\) 와 곡선 \(y=f(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm Q}(a, \;p)\), 직선 \(y=q\) 와 곡선 \(y=g(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm R}(b, \;q)\) 라 하자. 세 점 \(\rm P, \;Q, \;R\) 가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 \(a, \; b\) 의 곱 \(ab\) 의 값을 구하시오. (단, ..

자연수 \(n\) 에 대하여 그림과 같이 세 곡선 \(y=\log _2 x +1\), \(y=\log _2 x\), \(y=\log _2 \left ( x-4^n \right )\) 이 직선 \(y=n\) 과 만나는 세 점을 각각 \({\rm A}_n, \;{\rm B}_n, \; {\rm C}_n\) 이라 하자. 두 삼각형 \(\rm A_{\it n} OB_{\it n} , \; B_{\it n}OC_{\it n}\) 의 넓이를 각각 \(S_n,\; T_n\) 이라 할 때, \(\dfrac{T_n}{S_n} = 64\) 를 만족시키는 \(n\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(5\)

\(\rm A(3,\;-1),\; B(5,\;-1),\; C(5,\;2),\; D(3,\;2)\) 를 연결하여 만든 직사각형이 있다. 로그함수 \(y= \log_a (x-1)-4\) 가 직사각형 \(\rm ABCD\) 와 만나기 위한 \(a\) 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(N\) 이라 할 때, \(\left ( \dfrac{N}{M} \right )^{12}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(64\)

함수 \(y=\log_2 4x\) 의 그래프 위의 두 점 \(\rm A, \;B\) 와 함수 \(y=\log_2 x\) 의 그래프 위의 점 \(\rm C\) 에 대하여, 선분 \(\rm AC\) 가 \(y\) 축에 평행하고 삼각형 \(\rm ABC\) 가 정삼각형일 때, 점 \(\rm B\) 의 좌표는 \((p, \;q)\) 이다. \(p^2 \times 2^q\) 의 값은? ① \(6\sqrt{3}\) ② \(9\sqrt{3}\) ③ \(12\sqrt{3}\) ④ \(15\sqrt{3}\) ⑤ \(18\sqrt{3}\) 정답 ③

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 \(y=\log_a x\) 위의 점 \({\rm A} (2, \; \log_a 2)\) 를 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=\log_b x\) 와 만나는 점을 \(\rm B\), 점 \(\rm B\) 를 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=\log_a x\) 와 만나는 점을 \(\rm C\) 라 하자. \(\overline {\rm AB} = \overline{\rm BC}=2\) 일 때, \(a^2+b^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(1

그림은 두 곡선 \(y=\log_3 x,\;y=f(x)\) 를 나타낸 것이다. 직선 \(y=-\dfrac{2}{3}x+k\) 가 두 곡선 \(y=\log_3 x,\; y=f(x)\) 에 의해 잘린 선분의 길이가 실수 \(k\) 값에 관계없이 항상 \(\sqrt{13}\) 이다. 곡선 \(y=f(x)\) 가 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점의 좌표를 각각 \((\alpha, \;0),\;(0,\;\beta)\) 라 할 때, \(\alpha+\beta\) 의 값을 기약분수로 나타내면 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(10\)

함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(-1 \leq x < 1\) 에서 \(f(x)=|2x|\) 이다. (나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x+2)=f(x)\) 이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프와 함수 \(y=\log_{2n} x\) 의 그래프가 만나는 점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{7} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(553\)

그림은 함수 \(y=\log _3x+24\) 의 그래프와 직선 \(y=x\) 를 나타낸 것이다. 부등식 \[x