수악중독

함수 $$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2 − x + \ln⁡(1+x)$$와 양수 $t$에 대하여 점 $(s, \;f(s))$ ($s > 0$)에서 $y$축에 내린 수선의 발과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(s, \;f(s))$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점 사이의 거리가 $t$가 되도록 하는 $s$의 값을 $g(t)$라 하자. $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) dt$의 값은? ① $\dfrac{161}{12} + \ln 3$ ② $\dfrac{40}{3} + \ln 3$ ③ $\dfrac{53}{4} + \ln 2$ ④ $\dfrac{79}{6} + \ln 2$ ..

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) > 0$이다. 상수 $k$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = \int_{k}^{x} f'(t)\ln f(t)\;dt$$라 하자. 함수 $g(x)$가 $x = a$에서 극대 또는 극소인 모든 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $a_1, a_2, a_3$이다. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(a_2)$의 값은? (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge 0$이다. (나) $\int_{a_1}^{a_3} \left( g(x) + f(x) - f(x)\ln f(x) \right) dx = \dfrac{3}{2}$$① $\dfrac{3}{8}$ ..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속한 함수 $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x)=\ln \left( \dfrac{g(x)}{1 + x f'(x)} \right)$$를 만족시킨다. $f(1)=4 \ln 2$이고 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) dx= 34$, $\displaystyle \int_{1}^{2} xg(x) dx=53$일 때, $\displaystyle \int_{1}^{2} xe^{f(x)} dx$의 값을 구하시오. 더보기정답 $31$

함수 $\displaystyle \mathrm{f}(x) = \int_0^x e^{\cos \pi t} dt$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $h(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$ h(g(x)+2) = 2x^3 + 6f(1)x^2 + 1 $$ 을 만족시킨다. $\displaystyle \int_3^7 \dfrac{h'(x)}{f(x-2)}dx = k \times \{f(1)\}^2$일 때, 실수 $k$의 값을 구하시오. 더보기정답 $72$

$\displaystyle \int_0^{10} \dfrac{x+2}{x+1} dx$의 값은? ① $10+\ln 5$          ② $10+\ln 7$          ③ $10+2\ln 3$          ④ $10+\ln 11$          ⑤ $10+\ln 13$ 더보기정답 ④

그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x(x+\ln x)}}$ 과 $x$ 축 및 두 직선 $x=1, \; x=e$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?  ① $\ln(e+1)$          ② $\ln(e+2)$          ③ $\ln(e+3)$          ④ $\ln(2e+1)$          ⑤ $\ln(2e+2)$ 더보기정답 ①

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 가 $$f'(x)=-x+e^{1-x^2}$$ 이다. 양수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ 및 $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$ 라 하자. $g(1)+g'(1)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}e+\dfrac{1}{2}$          ② $\dfrac{1}{2}e+\dfrac{2}{3}$         ③ $\dfrac{1}{2}e+\dfrac{5}{6}$          ④ $\dfrac{2}{3}e+\dfrac{1}{2}$          ⑤ $\dfrac{2}{3}e+\dfrac{2}{3}$ 더보기정답 ②

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos \left (\dfrac{\pi}{3}-x \right ) dx $ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$          ② $\dfrac{1}{2}$          ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$          ④ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$          ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 더보기정답 ⑤

그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{(5-x)\ln x} \; (2 \le x \le 4)$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x=2, \; x=4$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?  ① $14\ln 2-7$          ② $14 \ln2 - 6$          ③ $16 \ln 2- 7$          ④ $16\ln 2-6$          ⑤ $16 \ln 2 - 5$ 더보기정답 ③

함수 $y=\dfrac{2\pi}{x}$ 의 그래프와 함수 $y=\cos x$ 의 그래프가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $m$ 번째 수를 $a_m$ 이라 하자. $\lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \left \{ n \times \cos^2(a_{n+k}) \right \}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$          ② $2$          ③ $\dfrac{5}{2}$          ④ $3$          ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기정답 ②