수악중독

타원 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 의 단축의 길이가 $6$ 일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $4$ ② $6$ ③ $8$ ④ $10$ ⑤ $12$ 더보기정답 ③

쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{5a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{a^{2}+1} = 1$ 의 한 점근선의 방정식이 $y = -\dfrac{1}{2}x$ 일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $2\sqrt{5}$ ② $4\sqrt{5}$ ③ $6\sqrt{5}$ ④ $8\sqrt{5}$ ⑤ $10\sqrt{5}$ 더보기정답 ②

포물선 $y^{2}=4px$ ($p>0$)의 초점을 지나고 기울기가 $\dfrac{4}{3}$인 직선이 이 포물선과 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 와 이 포물선의 준선 사이의 거리가 $20$ 일 때, $p$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기정답 ④

두 점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)$ ($c>0$)을 초점으로 하고 장축의 길이가 $8$ 인 타원이 있다. 점 $\mathrm{F}$ 를 지나고 기울기가 양수인 직선이 이 타원과 만나는 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{P}$, $y$ 좌표가 음수인 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{FP}} : \overline{\mathrm{FQ}} = 1 : 2, \overline{\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}} : \overline{\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{Q}} = 3 : 2$ 일 때, $c$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ..

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F}^{\prime}(-c,\; 0) \;(c>0)$을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}$ 가 이 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하고, 점 $\mathrm{P}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 $x$ 축과 점 $\mathrm{F}$ 에서 접하고 $\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{FQ}}=1$ 일 때, 원 $C$ 의 반지름의 길이는?..

초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p>0$)이고 준선이 $x=-p$ 인 포물선과 점 $\mathrm{F}$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$ ($r>p$)인 원 $\mathrm{C}$ 가 있다. 원 $\mathrm{C}$ 가 $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 원 $\mathrm{C}$ 가 이 포물선과 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\cos(\angle \mathrm{PHF}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 이고 사각형 $\mathrm{APHF}$ 의 넓이가 $54\sqrt{2..

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)$ ($c>0$)을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{2a^{2}} = 1$ 이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 점 $\mathrm{F}^{\prime}$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제$2$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 에서 선분 $\mathrm{PF}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{A, F}$ 를 초점으로 하고 점 $\mathrm{H}$ 를 지나는 타원이 ..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=4$, $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{5}$인 사면체 $\mathrm{ABCD}$가 있고, 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$에 대하여 두 평면 $\mathrm{ABH}$와 $\mathrm{BCD}$는 서로 수직이고 $\overline{\mathrm{AH}}=4$이다. 삼각형 $\mathrm{ABH}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 하고, 점 $\mathrm{G}$를 중심으로 하고 평면 $\mathrm{ACD}$에 접하는 구를 $S$라 하자. $\angle \mat..

그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p > 0$)이고 준선이 $x = -p$인 포물선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, 두 초점이 $x$축 위에 있고 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$를 지나는 타원의 $x$좌표가 양수인 초점을 $\mathrm{B}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레의 길이가 $p + 27$, 넓이가 $2p + 12$일 때, 선분 $\mathrm{HF}$의 길이를 $k$라 하자. $k^{2}$의 값을 구하시오. 더보기정답 $360$

좌표평면에서 길이가 $10\sqrt{2}$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{PA}}+ \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+ \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right )=2 \left | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right | ^2$$을 만족시킨다. $\left| \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right| = 14$일 때, $\left| \overrightarrow{\mathrm{PA..