수악중독

공간에 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A', \; B'}$ 이라 할 때, $$\overline{\mathrm{AA'}}=9, \quad \overline{\mathrm{A'P}}=\overline{\mathrm{A'B'}}=5, \quad \overline{\mathrm{PB'}}=8$$ 이다. 선분 $\mathrm{PB'}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $\angle \mathrm{MAB}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 직선 $\mathrm{BM}$ 과 평면 $\mathrm{APB'}$ 이 ..

타원 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2a^2}=1$ 위의 점 $(2, \; a)$ 에서의 접선의 기울기가 $-3$ 일 때, $a$ 의 값은? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $6$          ② $7$          ③ $8$          ④ $9$          ⑤ $10$ 더보기정답 ①

좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}(4, \; 2)$ 에 대하여 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right ) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$$ 을 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 가 나타내는 도형이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$ 라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OBC}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{OP}$ 는 원점이다.) ① $21$          ② $22$          ③ $23$           ④ $24$          ⑤ $25$ 더보기정답 ⑤

점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하고 직선 $l$ 을 준선으로 하는 포물선이 있다. 이 포물선 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 준선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{FH}$ 가 이 포물선과 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 와 직선 $l$ 사이의 거리가 $4$ 이고 $\overline{\mathrm{HA}}:\overline{\mathrm{AF}}=3:1$ 일 때, 선분 $\mathrm{PH}$ 의 길이는? ① $15$          ② $18$          ③ $21$          ④ $24$          ⑤ $27$  더보기정답 ②

밑면의 반지름의 길이가 $3$, 높이가 $3$ 인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 한 밑면의 둘레 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 다른 밑면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P'}$ 이라 하고, 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 밑면의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P'}$ 을 포함하는 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에 대하여 점 $\mathrm{O}$ 에서 선분 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{BP'}}=6$, $\overline{\mathrm{OH}}=\sqrt{13}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{PAH}$ 의 넓이는? ① $\sq..

두 양수 $a, \; c$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 이 있다. 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 이 서로 수직이 되도록 하는 이 쌍곡선 위의 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$, $\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{a}{3}$ 인 선분 $\mathrm{PF'}$ 위의 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{QF}$ 와 $y$ 축이 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{A}$ 에서 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 에 내린 ..

좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(2, \; 0)$, $\mathrm{B}(6, \; 0)$, $\mathrm{C}(0, \; 1)$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$, $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} \ge 0$(나) $\overrightarrow{\mathrm{QB}}=4\overrightarrow{\mathrm{QP}}+\overrightarrow{\mathrm{QA}}$ $\left | \overrightarrow{\mathrm{QA..

타원 $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\left ( 3, \; \sqrt{5} \right )$ 에서의 접선의 $y$ 절편은? (단, $b$ 는 양수이다.) ① $\dfrac{3}{2}\sqrt{5}$          ② $2\sqrt{5}$          ③ $\dfrac{5}{2}\sqrt{5}$          ④ $3\sqrt{5}$          ⑤ $\dfrac{7}{2}\sqrt{5}$ 더보기정답 ②

좌표평면에서 두 벡터 $\overrightarrow{a}=(-3, \; 3), \; \overrightarrow{b}=(1, \; -1)$ 에 대하여 벡터 $\overrightarrow{p}$ 가 $$\left | \overrightarrow{p} - \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right |$$ 를 만족시킬 때, $\left | \overrightarrow{p} - \overrightarrow{b} \right |$ 의 최솟값은? ① $\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$          ② $2\sqrt{2}$          ③ $\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$          ④ $3\sqrt{2}$        ..

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 한 초점 $\mathrm{F}(c, \; 0) \; (c>0)$ 을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 $y=x$ 이고 $\overline{\mathrm{PQ}}=8$ 일 때, $a^2+b^2+c^2$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 양수이다.) ① $56$          ② $60$          ③ $64$          ④ $68$          ⑤ $72$ 더보기정답 ③