수악중독

그림과 같이 $a > 2$, $b > 0$인 두 실수 $a$, $b$에 대하여 곡선 $y = a^x + b$와 $y$축이 만나는 점을 지나고 $x$축에 평행한 직선을 $l$ 이라 하자. 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 두 곡선 $y = \log_a x + b$, $y = a^x + b$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ 라 하고, $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자.$\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BC}} : \overline{\mathrm{CD}} = 1 : 3 : 3$ 이고 삼각형 $\mathrm{OBC}$ 의 넓이가 $\dfrac{9}{2}$일 때, $2..

양수 $a$와 이차함수 $f(x)$에 대하여 $x \ge 0$에서 정의된 함수 $$g(x) = \begin{cases} \sin \dfrac{3\pi x}{a} & (0 \le x f(x) - f(a) & (x \ge a) \end{cases}$$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(10)$의 값을 구하시오. (가) $x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge g(4)$이다.(나) 자연수 $n$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $g(x) = g(n)$의 서로 다른 실근의 개수를 $h(n)$이라 할 때,$$\{h(1), \; h(2), \; h(3), \; h(4), \; h(5)\} = \{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$$이다. 더보기정답 224$

그림과 같이 $1$보다 큰 실수 $b$에 대하여 두 함수 $f(x)=b^x$과 $g(x)=-\log_b x$의 그래프가 제$1$사분면에서 만나는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(\alpha, \; \beta)$라 하자. 다음은 $\alpha \beta^3 = 1$일 때, 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기 $m$에 대하여 $g(m)$의 값을 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}(\alpha, \; \beta)$는 두 곡선 $$y=f(x), \quad y=g(x)$$ 위의 점이므로, 두 양수 $\alpha$, $\beta$가 $$\beta = b^{\alpha}, \quad \beta = -\log_b \alpha$$ 를 만..

양수 $a$ 와 자연수 $b$ 에 대하여 $0 \le x \le 2$ 일 때 $x$ 에 대한 방정식 $$ \left( \cos(b\pi x) - \dfrac{1}{2} \right) \left( a \cos(b\pi x) + \dfrac{a+2}{2} \right) = 0$$의 서로 다른 실근의 개수는 $15$이다. $a+b$의 값은? ① $6$ ② $\dfrac{13}{2}$ ③ $7$ ④ $\dfrac{15}{2}$ ⑤ $8$ 더보기정답 ③

수열 $\{a_n\}$은 $a_1=1$, $a_2=4$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{2n} = a_n + 1, \quad a_{4n+3} = a_{4n+1} = a_n + 4$$ 를 만족시킨다. $a_k = 10$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수를 구하시오. 더보기정답 $32$

각 $\mathrm{A}$가 예각인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이는? (가) $\overline{\mathrm{AB}}=4, \overline{\mathrm{AC}}=15$(나) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $24$이다.① $\dfrac{15}{2}$ ② $\dfrac{65}{8}$ ③ $\dfrac{35}{4}$ ④ $\dfrac{75}{8}$ ⑤ $10$ 더보기정답 ②

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $a_{1}$의 값의 합은? (가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1}=\begin{cases}-2a_{n}&(a_{n}(나) $a_{3}=a_{1}+4$① $-\dfrac{2}{3}$ ② $-1$ ③ $-\dfrac{4}{3}$ ④ $-\dfrac{5}{3}$ ⑤ $-2$ 더보기정답 ④

그림과 같이 곡선 $y=\sin x \; (0 \le x \le 2\pi)$가 직선 $y=k$와 만나는 두 점을 $\mathrm{A, \; B}$라 하고, 직선 $y=-\sqrt{1-k^{2}}$과 만나는 두 점을 $\mathrm{C, \; D}$라 하자. $\overline{\mathrm{CD}}-\overline{\mathrm{AB}}=\dfrac{2}{9}\pi$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는? (단, $k$는 $0 ① $\dfrac{13}{36}\pi$ ② $\dfrac{3}{8}\pi$ ③ $\dfrac{7}{18}\pi$ ④ $\dfrac{29}{72}\pi$ ⑤ $\dfrac{5}{12}\pi$ 더보기정답 ③

첫째항이 $8$인 등차수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 수열 $\{b_{n}\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $\sum \limits_{k=1}^{10}b_{k}$의 값을 구하시오. (가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $$b_{n}=\begin{cases}-2a_{n}&(a_{n}\le0)\\ a_{n}&(a_{n}>0)\end{cases}$$이다.(나) $b_{3}+b_{5}=2b_{4}+6, b_{4}+b_{6}=2b_{5}$ 더보기정답 $155$

다음 조건을 만족시키는 곡선 $y=2^{x+1}+k$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$와 곡선 $y=\log_{2}(x-k)+1$ 위의 점 $\mathrm{C}$가 존재하도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 $S$라 하자. (가) 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $1$이다.(나) 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 한 변의 길이가 $2\sqrt{2}$인 정삼각형이다. $2^{-S+\frac{2}{3}}$의 값을 구하시오. 더보기정답 $9$