수악중독

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $|a_1|$ 의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n -3 & (|a_n|\text{이 홀수인 경우}) \\[5pt] \dfrac{1}{2}a_n & (a_n = 0 \text{ 또는 } |a_n| \text{ 이 짝수인 경우}) \end{cases}$$ 이다.(나) $|a_m|=|a_{m+2}|$ 인 자연수 $m$ 의 최솟값은 $3$ 이다. 더보기정답 $64$

곡선 $y=\left (\dfrac{1}{5} \right )^{x-3}$ 과 직선 $y=x$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표를 $k$ 라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $x>k$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)= \left (\dfrac{1}{5} \right )^{x-3}$ 이고 $f(f(x))=3x$ 이다. $f \left ( \dfrac{1}{k^3 \times 5^{3k}} \right )$ 의 값을 구하시오.  더보기정답 $36$

첫째항과 공비가 모두 양수 $k$ 인 등비수열 $\{a_n\}$ 이 $$\dfrac{a_4}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_1}=30$$을 만족시킬 때, $k$ 의 값은? ① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$ 더보기정답 ⑤

$\cos \left (\dfrac{\pi}{2}+\theta \right )=-\dfrac{1}{5}$ 일 때, $\dfrac{\sin \theta}{1-\cos^2 \theta}$ 의 값은? ① $-5$          ② $-\sqrt{5}$          ③ $0$          ④ $\sqrt{5}$          ⑤ $5$ 더보기정답 ⑤

두 실수 $a=2 \log \dfrac{1}{\sqrt{10}}+\log_2 20$, $b=\log 2$ 에 대하여 $a \times b$ 의 값은? ① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$ 더보기정답 ①

닫힌구간 $[0, \; 2\pi]$ 에서 정의된 함수 $f(x)=a \cos bx+3$ 이 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 에서 최댓값 $13$ 을 갖도록 하는 두 자연수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a+b$ 의 최솟값은? ① $12$          ② $14$          ③ $16$          ④ $18$          ⑤ $20$ 더보기정답 ③

$a_1=2$ 인 수열 $\{a_n\}$ 과 $b_1=2$ 인 둥차수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_{k+1}}=\dfrac{1}{2}n^2$$을 만족시킬 때, $\sum \limits_{k=1}^5 a_k$ 의 값은? ① $120$          ② $125$          ③ $130$          ④ $135$         ⑤ $140$ 더보기정답 ①

그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에서 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{DB}}=3:2$ 인 점 $\mathrm{D}$ 를 잡고, 점 $\mathrm{A}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{D}$ 를 지나는 원을 $O$, 원 $O$ 와 선분 $\mathrm{AC}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{E}$ 라 하자. $\sin \mathrm{A}:\sin \mathrm{C}=8:5$ 이고, 삼각형 $\mathrm{ADE}$ 와 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이의 비가 $9:35$ 이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 외접원의 반지름의 길이가 $7$ 일 때, 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P..

방정식 $$\log_2 (x-3)=\log_4 (3x-5)$$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 값을 구하시오.  더보기정답 $7$

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_n+a_{n-4}=12$$ 를 만족시킬 때, $\sum \limits_{n=1}^{16}a_n$의 값을 구하시오.  더보기정답 $96$