수악중독

첫째항이 $10$ 인 수열 $\{a_n \}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_n < a_{n+1} ,\;\; \sum \limits_{k=1}^{n} \left ( a_{k+1} - a_k \right ) ^2 = 2 \left ( 1- \dfrac{1}{9^n} \right ) $$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_n $ 의 값을 구하시오. 정답 12

자연수 \(a, \; b\) 에 대하여 곡선 \(y=a^{x+1}\) 과 곡선 \(y=b^x\) 이 직선 \(x=t\;\;(t \ge 1)\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm P, \; Q\) 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 \(a, \;b\) 의 순서쌍 \((a,\;b)\) 의 개수를 구하시오. 예를 들어, \(a=4,\; b=5\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(2 \le a \le 10,\;\; 2\le b \le 10\) (나) \(t \ge 1\) 인 어떤 실수 \(t\) 에 대하여 \(\overline {\rm PQ} \le 10\) 이다. 정답 39

\(50\) 원, \(100\) 원 , \(500\) 원짜리 동전이 각각 \(3\) 개씩 모두 \(9\) 개가 들어있는 지갑에서 동전 \(3\) 개를 임의로 꺼낼 때, 꺼낸 모든 동전 금액의 합이 \(250\) 원 이상일 확률을 \(\dfrac{q}{p}\) 라 하자. 이때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(79\)

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(O_1\) 에 외접하는 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 의 네 변 \(\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1,\; D_1A_1\) 의 중점을 각각 \(\rm E_1, \; F_1, \; G_1, \; H_1\) 이라 하자. 점 \(\rm B_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm B_1 F_1\) 을 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm B_1 F_1 E_1\) 의 호 \(\rm E_1 F_1\) 과 점 \(\rm C_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm C_1F_1\)를 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm C_1F_1G_1\) 의 호 \(\rm G_1F_1\) 과 원 \(O_1\) 의 호 \(\rm E_1 H_1 G_1..

행렬 \(A = \left ( \matrix { 3 & 1 \\ -3 & -1} \right ) \) 일 때, \(A^{10}=kA\) 를 만족하는 실수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(512\)

그림과 같이 밑면의 반질므의 길이가 \(5\) 인 원기둥이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원기둥의 내부에 중심이 점 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(3\) 인 구 \(S_1\) 이 원기둥의 밑면과 옆면에 내접하며 놓여있다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구 \(S_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 구 \(S_2\) 는 원기둥과 구 \(S_1\) 에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \; B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=120^{\rm o}\) 이다..

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=2,\; \overline{\rm AE}=3\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 선분 \(\rm AB\) 와 선분 \(\rm CD\) 의 중점을 각각 \(\rm I, \;J\) 라 할 때, 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\angle \rm EIF\) 의 크기와 같다. ㄴ. 사각형 \(\rm IFGJ\) 의 평면 \(\rm EIJH\) 위로의 정사영의 넓이는 \(\dfrac{8\sqrt{10}}{5}\) 이다. ㄷ. 선분 \(\rm JF\) 의 평..

좌표공간에 두 구 \[(x-1)^2+(y-a)^2+(z-\sqrt{3})^2=4,\;\;x^2+(y-2)^2+z^2=4\] 가 있다. 두 구가 만날 때 생기는 두 구 내분의 공통영역의 부피 \(V\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{7}{3}\pi\) ② \(\dfrac{8}{3}\pi\) ③ \(3\pi\) ④ \(\dfrac{10}{3}\pi\) ⑤ \(\dfrac{11}{3}\pi\) 정답 ④

그림과 같이 \(\angle \rm A=75^{\rm o}, \; \angle \rm C=45^{\rm o} , \; \overline{\rm AB}=4\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm AC\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm Q\) 가 \(\vec{\rm AP}+\vec{\rm AB} = 3 \vec{\rm AQ}\) 를 만족시킬 때, 점 \(\rm Q\) 가 나타내는 도형의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\) ② \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) ④ \(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{6}}{6}\) 정답 ④

\(7\) 명이 학생 \(\rm A, \;B,\;C,\;D,\;E,\;F,\;G\) 가 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 \(\alpha\) 이다. 또한 \(\rm A,\;B,\;C\) 는 서로 이웃하지 않고, \(\rm D, \;E\) 도 서로 이웃하지 않도록 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 \(\beta\) 이다. 이때, \(\alpha+\beta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(840\)