수악중독

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 점 \(\rm B\) 를 포함하지 않는 호 \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\angle \rm PAC = \theta\) 라 하고, 선분 \(\rm PC\) 를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{s(\theta)}{\theta ^2} = a \pi\) 일 때, \(60a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(80\)

그림과 같이 길이가 \(12\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원의 호 \(\rm AB\) 위에 \(\angle \rm PAB=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )\) 인 점 \(\rm P\) 가 있다. \(\angle \rm APQ=3\theta\) 가 되도록 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm Q\) 를 잡을 때, 두 선분 \(\rm PQ, \; QB\) 와 호 \(\rm BP\) 로 둘러싸인 부부의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(18\)

\(1\) 보다 큰 실수 \(t\) 에 대하여 그림과 같이 점 \({\rm P} \left ( t+\dfrac{1}{t} , \; 0 \right )\) 에서 원 \(x^2 +y^2 = \dfrac{1}{2t^2}\) 에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제1사분면에서 만나는 점을 \(\rm Q\), 원 위의 점 \( \left ( 0, \; -\dfrac{1}{\sqrt{2}t} \right )\) 을 \(\rm R\) 라 하자. 삼각형 \(\rm ORQ\) 의 넓이를 \(S(t)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{t \to \infty} \left \{ t^4 \times S(t) \right \}\) 의 값은? ① \(\dfrac{\sqrt{2}}{8}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2..

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x + a\cos x,\;\;\;g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{0\;\;\;\;\;\left( {x

그림과 같이 중심이 \({\rm A}(3, \;0)\) 이고 점 \({\rm B}(6, \;0)\) 을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 \(\rm P\) 를 지나는 두 직선 \(\rm AP, \; BP\) 가 \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm Q, \;R\) 이라 하자. \(\angle \rm PBA = \theta\) 라 하고, 삼각형 \(\rm PQR\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \( \lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta ^5}\) 의 값을 구하시오. (단, \(0< \theta < \dfrac{\pi}{4}\) ) 정답 \(18\)

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 원에 외접하고 \( \angle {\rm CAB}=\angle{\rm BCA}=\theta\) 인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 점 \(\rm A\) 가 아닌 점 \(\rm D\) 를 \( \angle {\rm DCB}=\theta\) 가 되도록 잡는다. 삼각형 \(\rm BDC\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \( \lim \limits_{\theta \to + \theta} \{ \theta \times S(\theta)\} \) 의 값은? (단, \(0

그림과 같이 사다리꼴 \(\rm ABCD\) 에서 변 \(\rm AD\) 와 변 \(\rm BC\) 가 평행하고 \(\angle \rm B=2\theta,\; \angle \rm C=3\theta, \; \overline{\rm BC}=2\sin \theta, \; \overline{\rm AD}=\sin \theta\) 이다. 사다리꼴 \(\rm ABCD\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta ^3}=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. \( \left ( 단, \; 0

그림과 같이 반지름의 길이가 \(3\) 이고 \(\angle \rm AOB = \dfrac{\pi}{3}\) 인 부채꼴 \(\rm AOB\) 에 내접하는 원을 \(\rm O'\) 이라 하자. 호 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm C\) 에 대하여 \(\angle \rm COB=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{3} \right )\) 일 때, 원 \(\rm O'\) 과 \(\overline{\rm OC}\) 가 만나는 두 점을 \(\rm P,\;Q\) 라 하고, 부채꼴 \(\rm COB\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to 0} \dfrac{\overline{\rm PQ}^2}{S(\theta..

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=1\) 인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 \(\angle {\rm BAC}= \theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_1\), 점 \(\rm C\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_2\) 라 할 때, \(C_1, \;C_2\) 각각에서 두 원이 겹치는 부분을 제외하여 얻어지는 두 부분의 넓이의 합을 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}=\al..

곡선 \(y=e^x\) 위를 움직이는 점 \({\rm P}\left ( t, \; t^2 \right )\) 와 세 점 \({\rm A} (0, \;e), \;{\rm B}(0, \;1),\; {\rm C}(1, \;1)\) 이 있다. \(\triangle {\rm PAB}, \; \triangle {\rm PBC}\) 의 넓이를 각각 \(S_1 ,\; S_2\) 라 할 때, \(\lim \limits_{t \to 0} \dfrac{S_1}{S_2}\) 의 값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \(e-2\) ② \(e-1\) ③ \(2e-3\) ④ \(2(e-2)\) ⑤ \(2e-1\) 정답 ②