수악중독

양의 실수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 가수를 \(f(x)\) 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 \(a\) 와 \(n\) 에 대하여 모든 자연수 \(n\) 이 값의 합을 구하시오. (가) \(f(a)=f \left( a^{2n} \right )\)(나) \((n+1) \log a = 3n^2 - 4n +4\) 정답 \(44\)

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x), \; g(x)\) 라 하고, \(h(x) = x+5f(x)\) 라 하자. 두 조건 \[f(m) \le f(x),\;\; g(h(m)) \le g(x)\] 를 만족시키는 자연수 \(m\) 의 개수를 \(p(x)\) 라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{10} p(2k)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(65\)

그림과 같이 세 로그함수 \(f(x)=k \log x\), \(g(x)=k^2 \log x\), \(h(x)=4k^2 \log x\) 의 그래프가 있다. 점 \(\rm P(2, \;0)\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 두 곡선 \(y=g(x), \; y=h(x)\) 와 만나는 점의 \(y\) 좌표를 각각 \(p ,\; q\) 라 하자. 직선 \(y=p\) 와 곡선 \(y=f(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm Q}(a, \;p)\), 직선 \(y=q\) 와 곡선 \(y=g(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm R}(b, \;q)\) 라 하자. 세 점 \(\rm P, \;Q, \;R\) 가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 \(a, \; b\) 의 곱 \(ab\) 의 값을 구하시오. (단, ..

어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다. 접속 케이블의 저항을 \(R\), 스피커의 임피던스를 \(r\), 전송 손실을 \(L\) 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. \[L=10 \log \left ( 1+\dfrac{2R}{r} \right )\] (단, 전송 손실의 단위는 \(\rm dB\), 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 \(\omega\) 이다.)이 앰프에 임피던스가 \(8\) 인 스피커를 저항이 \(5\) 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 \(a\) 인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 \(2\..

자연수 \(n\) 에 대하여 그림과 같이 세 곡선 \(y=\log _2 x +1\), \(y=\log _2 x\), \(y=\log _2 \left ( x-4^n \right )\) 이 직선 \(y=n\) 과 만나는 세 점을 각각 \({\rm A}_n, \;{\rm B}_n, \; {\rm C}_n\) 이라 하자. 두 삼각형 \(\rm A_{\it n} OB_{\it n} , \; B_{\it n}OC_{\it n}\) 의 넓이를 각각 \(S_n,\; T_n\) 이라 할 때, \(\dfrac{T_n}{S_n} = 64\) 를 만족시키는 \(n\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(5\)

\(x \ge 1\) 일 때, \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x), \; g(x)\) 라 하자. 좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=\{f(x)+1\}g(x)\) 의 그래프와 직선 \(y=n\) 이 만나는 점의 \(x\) 좌표 중 가장 작은 값을 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} \left ( \log a_n + \dfrac{1}{n+1} \right ) \) 의 값을 구하시오. 정답 \(65\)

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x), \; g(x)\) 라 하자. \(\{ f(x) \}^2 +3g(x)=3\) 의 값이 \(3\) 이 되도록 하는 모든 \(x\) 값의 곱은 \(10^{\frac{q}{p}}\) 이다. \(10(p+q)\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(70\)

\( \log_2 \left ( -x^2 +ax +4 \right ) \) 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 \(x\) 의 개수가 \(6\) 일 때, 모든 자연수 \(a\) 의 값의 곱을 구하시오. 정답 \(30\)

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표를 \(f(x)\), 가수를 \(g(x)\) 라 할 때, 자연수 \(n \; (n \geq 2)\) 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 자연수 \(a\) 의 최솟값을 \(a_n\) 이라 하자. (가) \(f(a)=n-1\) (나) \(g(a)>g(na)\) \(a_2 +a_3 + \dfrac{a_5}{a_4}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(392\)

두 양의 실수 \(\alpha, \; \beta\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\log _3 \alpha - \log _2 \alpha = 2^{-\alpha+2}\) (나) \(\log _2 \beta - \log _3 \beta = 2^{-\beta+2}\) 다음 중 세 수 \(1,\; \alpha,\; \beta\) 의 대소 관계로 옳은 것은? ① \(\beta