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목록미적분 - 문제풀이/수열의 극한 (72)
수악중독
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모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ a_n \times \left ( \sqrt{n^2+4}-n \right ) \right \}=6$$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2a_n+6n^2}{na_n+5}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기정답 ②
첫째항이 $1$ 이고 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하고 $$\sum \limits_{n=1}^\infty (20a_{2n} + 21 | a_{3n-1} | )=0$$ 이다. 첫째항이 $0$ 이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{3|a_n|+b_n}{a_n}$ 이 수렴할 때, $b_1 \times \sum \limits_{n=1}^\infty b_n$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $12$
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수열 $\{a_n\}$ 이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left (a_n -\dfrac{3n^2-n}{2n^2+1} \right ) = 2$$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left (a_n^2 +2a_n \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{17}{4}$ ② $\dfrac{19}{4}$ ③ $\dfrac{21}{4}$ ④ $\dfrac{23}{4}$ ⑤ $\dfrac{25}{4}$ 더보기정답 ③
수열 $\{a_n\}$ 은 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} a_n & \left ( \left |a_n \right | (가) $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n = 4$(나) $\sum \limits_{n=1}^m \dfrac{a_n}{b_n}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$ 은 $p$ 이고, $\sum \limits_{n=1}^p b_n = 51$, $\sum \limits_{n=p+1}^\infty b_n =\dfrac{1}{64}$ 이다. $32 \times (a_3 + p)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $138$
열린구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{n+1}+\left (\dfrac{4}{x} \right )^n}{x^n+\left ( \dfrac{4}{x} \right )^{n+1}}$$ 이 있다. $x>0$ 일 때, 방정식 $f(x)=2x-3$ 의 모든 실근의 합은? ① $\dfrac{41}{7}$ ② $\dfrac{43}{7}$ ③ $\dfrac{45}{7}$ ④ $\dfrac{47}{7}$ ⑤ $7$ 더보기정답 ④
첫째항이 $1$ 이고 공차가 $d \; (d>0)$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{n}{a_n} - \dfrac{n+1}{a_{n+1}} \right )= \dfrac{2}{3}$ 일 때, $d$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기정답 ③
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두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 $$\lim \limits_{n \to \infty}na_n=1, \quad \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{n}=3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2a_n+b_n}{1+2b_n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ③
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수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$2n+3 < a_n < 2n+4$$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(a_n +1)^2 +6n^2}{na_n}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤
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수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}-a_n = a_1 +2$$ 를 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{2a_n+n}{a_n -n +1}=3$ 일 때, $a_{10}$ 의 값은? (단, $a_1 >0$) ① $35$ ② $36$ ③ $37$ ④ $38$ ⑤ $39$ 더보기 정답 ④
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$a_1=3, \; a_2=6$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 모든 항이 양수인 수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n a_k (b_k)^2=n^3-n+3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_nb_{2n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ③ $3$ ④ $3\sqrt{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ②