수악중독

첫째항과 공차가 같은 등차수열 ${a_{n}}$과 등비수열 ${b_{n}}$이 다음 조건을 만족시킨다. 어떤 자연수 $k$에 대하여 $$b_{k+i}=\dfrac{1}{a_i}−1 \quad (i=1, \;2, \;3)$$ 이다. 부등식 $$0 더보기정답 $97$

등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n + a_{n+1}) = 5, \quad \sum_{n=1}^{\infty}\left( \left| a_{n+1} + a_{n+2} \right| \times \sin \dfrac{n\pi}{2} \right) = 2$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} (100a_n - m a_{3n})$의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 $m$의 최댓값을 구하시오. 더보기정답 $686$

첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고, 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 + a_2 (나) 수열 $\{a_n\}$의 정수인 항의 개수는 $3$이고, 이 세 항의 곱은 $216$이다. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\dfrac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $91$

첫째항이 자연수이고 공비가 $-\dfrac{1}{2}$인 등비수열 $\{a_n\}$이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty (|a_{n+1}| - a_n-1) = 26$$ 을 만족시킨다. $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$의 값을 구하시오. 더보기정답 $16$

양수 $a$에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{a-3n}{n} + \dfrac{an+6}{n+a} \right)$이 실수 $S$에 수렴할 때, $a + S$의 값은? ① $7$ ② $\dfrac{15}{2}$ ③ $8$ ④ $\dfrac{17}{2}$ ⑤ $9$ 더보기정답 ④

두 정수 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha > \beta$)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 ${a_n}$이 있다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_n = \alpha \times \sin \dfrac{n}{2}\pi + \beta \times \cos \dfrac{n}{2}\pi $$이고, $a_1 \times a_2 \times a_3 \times a_4 = 4$이다. 수열 ${a_n}$과 $b_1 > 0$인 등비수열 ${b_n}$에 대하여 $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (a_{4n-2} b_n) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} (a_{4n-3} b_{2n}) = 6$$일 때, $b_1 \times b_3 = \dfrac{q..

두 양수 $a$, $b$에 대하여 $$\lim \limits_{{n \to \infty}} \left( \sqrt{a n^2 + b n} - b n \right) = \lim_{{n \to \infty}} \dfrac{(b n - 1)^2}{(b + 6) n^2 + 1}$$ 일 때, $a + b$의 값은?① $6$ ② $12$ ③ $18$ ④ $24$ ⑤ $30$ 더보기정답 ①

자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2+5x+3$과 직선 $x=n$이 만나는 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_n$을 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}_n$, $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}_n$이라 하자.$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{3\sqrt{2}}{\overline{\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n} - \overline{\mathrm{P}_n\mathrm{R}_n}}$의 값은?① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{3}{4}$ ④ $1$ ⑤ $\dfrac{5..

수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$에 대하여 $$b_n=\begin{cases}(-1)^n & (a_n (가) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty (3b_{3n-2} - 7b_{3n-1} + 2b_{3n})$은 수렴한다. (나) $b_5^2 = b_4b_6 - \dfrac{9}{4}$ $90a_3$의 값을 구하시오. 더보기정답 $15$

수열 $\{a_n\}$에 대하여  $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{(2n+3)a_n}{n^2} = 3$$일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{na_n}{3n^2 + 1}$의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$          ② $\dfrac{1}{3}$          ③ $\dfrac{1}{2}$          ④ $\dfrac{2}{3}$          ⑤ $\dfrac{5}{6}$더보기정답 ③