수악중독

등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{4^n \times a_n -1}{3 \times 2^{n+1}}=1$$ 일 때, $a_1 + a_2$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$          ② $\dfrac{5}{2}$          ③ $\dfrac{7}{2}$          ④ $\dfrac{9}{2}$          ⑤ $\dfrac{11}{2}$ 더보기정답 ④

수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$m$항까지의 합을 $S_m$ 이라 하자. 모든 자연수 $m$ 에 대하여 $$S_m = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{m+1}{n(n+m+1)}$$ 일 때, $a_1 +a_{10}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $57$

양수 $k$ 와 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{|x-2|^{2n+1}+f(x)}{|x-2|^{2n}+k} & (|x-2| \ne 1) \\[10pt] \dfrac{|f(x+1)|}{k+1} & (|x-2|=1)\end{cases}$$ 이 실수 전체의 집합에서 연속이다. 닫힌구간 $[1, \; 3]$ 에서 함수 $f(g(x))$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $10(M+m)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $30$

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ a_n \times \left ( \sqrt{n^2+4}-n \right ) \right \}=6$$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2a_n+6n^2}{na_n+5}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$          ② $2$          ③ $\dfrac{5}{2}$          ④ $3$          ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기정답 ②

첫째항이 $1$ 이고 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하고 $$\sum \limits_{n=1}^\infty (20a_{2n} + 21 | a_{3n-1} | )=0$$ 이다. 첫째항이 $0$ 이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{3|a_n|+b_n}{a_n}$ 이 수렴할 때, $b_1 \times \sum \limits_{n=1}^\infty b_n$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $12$

수열 $\{a_n\}$ 이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left (a_n -\dfrac{3n^2-n}{2n^2+1} \right ) = 2$$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left (a_n^2 +2a_n \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{17}{4}$          ② $\dfrac{19}{4}$          ③ $\dfrac{21}{4}$          ④ $\dfrac{23}{4}$          ⑤ $\dfrac{25}{4}$ 더보기정답 ③

수열 $\{a_n\}$ 은 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} a_n & \left ( \left |a_n \right |  (가) $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n = 4$(나) $\sum \limits_{n=1}^m \dfrac{a_n}{b_n}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$ 은 $p$ 이고, $\sum \limits_{n=1}^p b_n = 51$, $\sum \limits_{n=p+1}^\infty b_n =\dfrac{1}{64}$ 이다. $32 \times (a_3 + p)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $138$

열린구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{n+1}+\left (\dfrac{4}{x} \right )^n}{x^n+\left ( \dfrac{4}{x} \right )^{n+1}}$$ 이 있다. $x>0$ 일 때, 방정식 $f(x)=2x-3$ 의 모든 실근의 합은? ① $\dfrac{41}{7}$          ② $\dfrac{43}{7}$          ③ $\dfrac{45}{7}$          ④ $\dfrac{47}{7}$          ⑤ $7$ 더보기정답 ④

첫째항이 $1$ 이고 공차가 $d \; (d>0)$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{n}{a_n} - \dfrac{n+1}{a_{n+1}} \right )= \dfrac{2}{3}$ 일 때, $d$ 의 값은? ① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$ 더보기정답 ③

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 $$\lim \limits_{n \to \infty}na_n=1, \quad \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{n}=3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2a_n+b_n}{1+2b_n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ③