수악중독

그림과 같이 중심이 점 ${\rm A}(1, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C_1$ 과 중심이 점 ${\rm B}(-2, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $C_2$ 가 있다. $y$ 축 위의 점 ${\rm P}(0, \; a)\;\; \left ( a > \sqrt{2} \right )$ 에서 원 $C_1$ 에 그은 접선 중 $y$ 축이 아닌 직선이 원 $C_1$ 과 접하는 점을 $\rm Q$, 원 $C_2$ 에 그은 접선 중 $y$ 축이 아닌 직선이 원 $C_2$ 와 접하는 점을 $\rm R$ 라 하고, $\angle \rm RPQ = \theta$ 라 하자. $\tan \theta = \dfrac{4}{3}$ 일 때, $(a-3)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $11$

그림과 같이 $\overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}=10$, $\overline{\rm BC}=12$ 인 이등변삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 위에 $\angle {\rm DCB}=\theta$, $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ 이 되도록 점 $\rm D$ 를 잡고, 선분 $\rm AC$ 위에 $\angle {\rm EBA}=2 \theta$ 가 되도록 점 $\rm E$ 를 잡는다. 선분 $\rm BE$ 와 선분 $\rm CD$ 가 만나는 점을 $\rm F$, 점 $\rm F$ 에서 선분 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 선분 $\rm FH$ 의 길이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다..

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 $\rm O(0, \; 0)$ 이고 점 ${\rm A}(1, \; 0)$ 을 지나는 원 $C_1$ 위의 제1사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 하자. 점 $\rm P$ 를 원점에 대칭시킨 점을 $\rm Q$ , $x$ 축에 대하여 대칭이동시킨 점을 $\rm R$ 라 하자. 선분 $\rm QR$ 를 지름으로 하는 원 $C_2$ 와 두 선분 $\rm PQ, \; AQ$ 와의 교점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 하자. $\angle \rm OPA = \theta$ 라 할 때, 두 삼각형 $\rm MQN, \; PNR$ 의 넓이를 각각 $S(\theta), \; T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^..

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 이고 $\angle {\rm ABC} =2 \angle {\rm BAC}$ 를 만족하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 를 지름으로 하는 원과 직선 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 점 $\rm P$ 를 지나고 선분 $\rm BC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AC$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\angle {\rm BAC }=\theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm APQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? (단, $0

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $$F(x) = \ln |f(x)|$$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 $$G(x) = \ln |g(x) \sin x|$$라 하자.$$\lim \limits_{x \to 1} (x-1) F'(x)=3, \;\; \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{F'(x)}{G'(x)} = \dfrac{1}{4}$$일 때, $f(3)+g(3)$ 의 값은? ① $57$ ② $55$ ③ $53$ ④ $51$ ⑤ $49$ 정답 ④

그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm BP}=\overline{\rm BC}$ 가 되도록 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm C$를 잡고 $\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}$ 가 되도록 선분 $\rm AP$ 위의 점 $\rm D$ 를 잡는다. $\angle {\rm PAB}=\theta$ 에 대하여 선분 $\rm CD$ 를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\angle {\rm PCD}$ 인 부채꼴의 넓이를 $S(\theta)$, 선분 $\rm CP$ 를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\angle {\rm PCD}$ 인 부채꼴의 넓이를 $T(..

그림과 같이 중심이 ${\rm O_1}(1, \; 0), \; {\rm O_2}(-1, \; 0), \; {\rm O_3}(0, \; 3)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 세 원을 각각 $C_1, \; C_2, \; C_3$ 이라 하자. 점 $\rm A, \; O, \; B$ 의 좌표는 각각 $(2, \; 0), \; (0, \; 0), \; (0, \; 4)$ 이다. 세 동점 $\rm P, \; Q, \; R$ 의 이동 경로는 다음과 같다. $\rm P$ : 점 $\rm A$ 에서 출발하여 원 $C_1$ 을 따라 시계 반대 방향으로 매초 $1$ 의 속력으로 이동$\rm Q$ : 점 $\rm O$ 에서 출발하여 원 $C_2$ 를 따라 시계 반대 방향으로 매초 $1$ 의 속력으로 이동$\rm R$ : 점..

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 두 변 $\rm BC, \; DC$ 위에 $\angle {\rm PDC} = \angle {\rm QBC} = \theta$ 가 되도록 점 $\rm P$ 와 $\rm Q$ 를 각각 잡고 선분 $\rm BQ$ 와 선분 $\rm DP$ 의 교점을 $\rm R$ 라 하자. 사각형 $\rm RPCQ$ 에 내접하는 원 $C_1$ 의 반지름의 길이를 $r_1$, 삼각형 $\rm RBP$ 에 내접하는 원 $C_2$ 의 반지름의 길이를 $r_2$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0^+}\dfrac{r_2}{r_1}$ 의 값은?① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ③ $\dfrac{1}{..

그림과 같이 $\overline{\rm BC}=1$, $\angle \rm A = \dfrac{\pi}{2}$, $\angle \rm B=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 선분 $\rm AD$ 를 지름으로 하는 원이 선분 $\rm BC$와 접할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\overline{\rm CD}}{\theta ^3} = k$ 라 하자. $100k$ 의 값을 구하시오. 정답 $25$

그림과 같이 $\angle {\rm B} = \theta, \;\; \overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=2$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 의 연장선 위에 $\overline{\rm AC} = \overline{\rm CD} $ 가 되도록 점 $\rm D$ 를 잡는다. 삼각형 $\rm ACD$ 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{r(\theta)}{\theta}=a-\sqrt{b}$ 이다. $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 자연수이다.) 정답 $8$