수악중독

$0$이 아닌 정수 $a$와 유리수 $b$ $\left (b > \dfrac{4}{a} \right )$에 대하여 함수 $f(x)$를$$f(x) = \begin{cases} \left| \dfrac{ax-4}{x-b} \right| & (x b) \\ ax^{2}-4bx & (\dfrac{4}{a} \le x \le b) \end{cases}$$라 하자. 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $a, b$의 모든 순서쌍이 $(a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2})$일 때, $a_{1} \times b_{1} \times a_{2} \times b_{2}$의 값을 구하시오. $ (가) 함수 $f(x)$는 일대일함수이다.(나) $y$에 대한 방정식 $f(x)=k$의 해가 존재하지 ..

$1$부터 $8$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $8$장의 카드가 있다. 이 $8$장의 카드 중에서 $6$장의 카드를 택하여 왼쪽부터 모두 일렬로 나열한다. 이 $6$장의 카드에 적힌 수를 왼쪽부터 순서대로 $a_1, \; a_2,\; a_3,\; a_4,\; a_5,\; a_6$이라 할 때, 세 자연수 $A, B, C$를 $$\begin{aligned}A&=a_1 \times 100 + a_2 \times 10 + a_3, \\ B&=a_4 \times 10 + a_5, \\ C&=a_6\end{aligned}$$이라 하자. 두 수 $A+B+C, \; A-B-C$가 모두 $5$의 배수가 되도록 하는 $(a_1, \;a_2, \;a_3, \;a_4, \;a_5, \; a_6)$의 모든 순서쌍의 개수를 ..

$x$에 대한 연립부등식$$ \begin{cases} ax^2+(a+b)x+a+b+1 을 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위가 $x에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a, \;b, \;p$는 실수이다.) ㄱ. $a=-1$일 때, $p=-1$이다.ㄴ. $b>0$ㄷ. $a^3 \le -1$① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기정답 ②

실수 $k$와 최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)+x=k$가 서로 다른 두 자연수 $\alpha, \; \beta$를 근으로 가질 때, 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(\beta)=\beta$(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge \beta$이다.$f(0)① $45$ ② $48$ ③ $51$ ④ $54$ ⑤ $57$ 더보기정답 ①

등식 $$x^2+(a+1)x+8=x^2+10x+b$$가 모든 실수 $x$에 대하여 항상 성립할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a, \;b$는 상수이다.) 더보기정답 $17$주어진 식은 $x$에 대한 항등식이므로 계수비교법을 사용하면$a+1=10$ 에서 $a=9$$b=8$ $\therefore a+b=9+8=17$

사차방정식 $$x^4-2x^3-x^2+2x=0$$의 모든 양의 실근의 합을 구하시오. 더보기정답 $3$

$k-\dfrac{3}{k}=6$일 때, $k^3-\dfrac{27}{k^3}$의 값을 구하시오. 더보기정답 $270$

$a$가 음수일 때, $\dfrac{\sqrt{-4a}}{\sqrt{a}\sqrt{-4}} - \dfrac{\sqrt{-32}\sqrt{4a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}$의 값을 구하시오. 더보기정답 $7$

$x$에 대한 부등식 $$2x+1 \le 2x+a 더보기정답 $21$

두 자연수 $a, \;b$에 대하여 $-2 \le x \le 2$에서 이차함수 $f(x)=(x-a)^2+2b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M \le 36$이고 $m \ge 5$를 만족시키는 모든 순서쌍 $(a,\; b)$의 개수를 구하시오. 더보기정답 $23$