수악중독

양의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=t^3 \ln (x-t)$ 가 곡선 $y=2e^{x-a}$ 과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$ 의 값을 $f(t)$ 라 하자. $\left \{ f' \left (\dfrac{1}{3} \right ) \right \}^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $64$

정수 $n$ 에 대하여 점 $(a, \; 0)$ 에서 곡선 $y=(x-n)e^x$ 에 그은 접선의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=0$ 일 때, $f(4)=1$ 이다. ㄴ. $f(n)=1$ 인 정수 $n$ 의 개수가 $1$ 인 정수 $a$ 가 존재한다. ㄷ. $\sum \limits_{n=1}^5 f(n) = 5$ 를 만족시키는 정수 $a$ 의 값은 $-1$ 또는 $3$ 이다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③ $(a, 0)$ 에서 그은 접선이 곡선 $y=(x-n)e^x$ 와 서로 다른 두 점에서 접하는 경우 접선의 개수는 $1$ 개가 될 수 있지만, 이 문제에서는 그런 경우가 존재하지 않습니다. 점근선 위의 ..

$x=a$ $(a>0)$ 에서 극댓값을 갖는 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{1-\cos \pi x}{f(x)} & (f(x) \ne 0) \\[10pt] \dfrac{7}{128}\pi^2 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g'(0) \times g'(2a) \ne 0$(나) 함수 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 극값을 갖는다. $g(1)=\dfrac{2}{7}$ 일 때, $g(-1) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $95$

좌표평면 위에 원 $x^2 + y^2 = 9$ 와 직선 $y=4$ 가 있다. $t \ne -3, \; t \ne 3$ 인 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=4$ 위의 점 ${\rm P}(t, \; 4)$ 에서 원 $x^2 +y^2 = 9$ 에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 $f(t)$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f \left ( \sqrt{2} \right ) = -1$ㄴ. 열린 구간 $(-3, \; 3)$ 에서 $f''(t)

자연수 $n$ 에 대하여 열린 구간 $(3n-3, \; 3n)$ 에서 함수 $$f(x)=(2x-3n) \sin 2x - \left ( 2x^2 -6nx +4n^2 -1 \right ) \cos 2x$$가 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소가 되는 모든 $\alpha$ 의 값의 합을 $a_n$ 이라 하자. $\cos a_m = 0$ 이 되도록 하는 자연수 $m$ 의 최솟값을 $l$ 이라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^{l+2} a_k$ 의 값은? ① $7+\dfrac{45}{2}\pi$ ② $8+\dfrac{45}{2}\pi$ ③ $7+\dfrac{47}{2}\pi$ ④ $8+\dfrac{47}{2}\pi$ ⑤ $7+\dfrac{49}{2}\pi$ 정답 ①

함수 $f(x)=x^2 +ax+b \; \left ( 0< b < \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에 대하여 함수 $g(x)=\sin (f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g'(-x)=-g'(x)$ 이다.(나) 점 $(k, \; g(k))$ 는 곡선 $y=g(x)$ 의 변곡점이고, $2kg(k) = \sqrt{3} g'(k)$ 이다. 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ③ $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ④ $\dfrac{\pi}{2} - \df..

다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 $1$ 인 모든 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)$ 의 값의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. $\left ( 단, \; \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = 0 \right )$ (가) $f(1)=0, \;\; f'(1)=0$(나) 방정식 $f(x)=0$ 의 모든 실근은 $10$ 이하의 자연수이다.(다) 함수 $g(x)= \dfrac{3x}{e^{x-1}} +k$ 에 대하여 함수 $\left |(f \circ g) (x) \right |$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 $k$ 의 개수는 $4$ 이다. 정답 $77$

점 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; 0 \right )$ 에서 곡선 $y=\sin x \; (x>0)$ 에 접선을 그어 접점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는대로 고른 것은? ㄱ. $\tan a_n = a_n + \dfrac{\pi}{2}$ㄴ. $\tan a_{n+2} - \tan a_n > 2\pi$ㄷ. $a_{n+1}+a_{n+2}>a_n+a_{n+3}$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

함수 $f(x)=- \dfrac{kx^3}{x^2+1}~(k>1)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 곡선 $y=f^{-1}(x)$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha$, 가장 큰 값을 $\beta$ 라 하자. 함수 $y=f(x-2\beta)+2\alpha$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 $f'(\beta) = 2g'(\alpha)$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $\dfrac{5+2\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{7}$ ③ $\dfrac{4+2\sqrt{2}}{5}$ ④ $\dfrac{5+2\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{6+2\sqrt{2}}{5}$ 정답 ②

최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 이고 최솟값이 $0$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=2 x^4 e^{-x}$ 에 대하여 합성함수 $h(x)=(f \circ g)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $h(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $4$ 이다.(나) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극소이다.(다) 방정식 $h(x)=8$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $6$ 이다. $f'(5)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} g(x)=0$) 정답 $30$