수악중독

연립방정식 $$\begin{cases} x-y=2 & \\ x^2+8x+y^2=2 & \end{cases}$$ 의 해를 $x=\alpha, \; y=\beta$ 라 할 때, $\alpha + \beta$ 의 값은?  ① $-1$          ② $-2$          ③ $-3$          ④ $-4$          ⑤ $-5$ 더보기정답 ④

실수가 아닌 복소수 $z$ 에 대하여 $z-3\overline{z}=z^2$ 일 때, $z\overline{z}$ 의 값은? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $10$          ② $12$          ③ $14$          ④ $16$          ⑤ $18$ 더보기정답 ②

$x$ 에 대한 연립부등식 $$\begin{cases}(x+9)\left (x -a^2+6a \right ) \le 0 & \\ (x-2a)(x-2a+16) \le 0 & \end{cases}$$ 을 만족시키는 실수 $x$ 가 오직 하나 존재하도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 합은? ① $\dfrac{1}{2}$          ② $1$          ③ $\dfrac{3}{2}$          ④ $2$          ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기정답 ⑤

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 실수 $x$ 에 대한 두 조건 $$\begin{aligned} p \; &: \; x^2-4x+a+2 \le 0, \\ q \; &: \; 0  ① $5$          ② $6$          ③ $7$          ④ $8$          ⑤ $9$ 더보기정답 ③

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(p)=f(q)$ 인 서로 다른 두 정수 $p, \; q$ 가 존재한다.(나) $n \le x \le n+3$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값과 최솟값의 곱이 $f(n) \times f(n+3)$ 의 값과 같지 않도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값은 $4, \; 5, \; 6$ 이다. 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $1$ 일 때, $f(8)$ 의 값은? ① $3$          ② $\dfrac{13}{4}$          ③ $\dfrac{7}{2}$          ④ $\dfrac{15}{4}$          ⑤ $4$ 더보기정답 ②

$2$ 가 아닌 양수 $a$ 에 대하여 직선 $x=a$ 가 두 함수 $f(x)=x^2-3x+3$, $g(x)=2x^2-4x$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하고, 직선 $x=a$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{R}$ 이라 하자. $\overline{\mathrm{PR}}+\overline{\mathrm{QR}} \le 3$ 을 만족시키는 $a$ 의 최댓값과 최솟값의 합은? ① $2$          ② $\dfrac{7}{3}$          ③ $\dfrac{8}{3}$          ④ $3$          ⑤ $\dfrac{10}{3}$ 더보기정답 ⑤

양수 $a$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=3a^2+10a+7$, $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AE}}=a$ 인 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $1:a$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{DC}$ 를 $1:a$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자.직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 에서 단면 $\mathrm{PFGQ}$ 가 생기도록 삼각기둥 $\mathrm{PFB-QGC}$ 를 잘라 내었다. 사각기둥 $\mathrm{AEFP-DHGQ}$ 의 부피를 $V_1$, 삼각기둥 $\mathrm{PFB-QGC}$ 의 부피를 $V_2..

$x$ 에 대한 방정식 $$x^3+3x^2+(16-a)x+a-20=0$$ 이 허근을 갖도록 하는 자연수 $a$ 의 개수를 구하시오.  더보기정답 $15$

$x$ 에 대한 이차부등식 $x^2+ax-12 \le 0$ 의 해가 $-4 \le x \le b$ 일 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a-b$ 의 값은? ① $-6$          ② $-5$          ③ $-4$          ④ $-3$          ⑤ $-2$ 더보기정답 ⑤$x^2+ax-12 =(x+4)(x-b)$이것이 $x$ 에 대한 항등식이 되어야 하므로 $b=3, \; a=1$$\therefore a-b = 1-3=-2$

$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-x+k=0$ 이 서로 다른 두 근 $\alpha, \; \beta$ 를 갖는다. $\alpha^3 + \beta ^3 = 10$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? ① $-7$          ② $-6$          ③ $-5$          ④ $-4$          ⑤ $-3$ 더보기정답 ⑤근과 계수와의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 1, \quad \alpha \beta = k$$\begin{aligned}\alpha^3+\beta^3 &= (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha+\beta) \\ &=1^3-3k=10 \end{aligned}$$\therefore k= -3$