수악중독

평균변화율과 순간변화율 미분계수 도함수 곱의 미분법 $ r(x)=f(x)g(x)$일 때, $$r'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ 먼저 도함수의 정의를 이용하여 \(r'(x)\) 를 표현해 보자.$$r'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{r(x+h)-r(x)}{h}$$이제 $r(x)$ 를 모두 $f(x)g(x)$로 바꾸고 식을 약간 변형해 보자. $$\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) - f(x)g(x)}{h} \\ &=..

자연수 \(n\) 에 대하여 구간 \([n, \; n+1]\) 에서 함수 \(y=f(x)\) 의 평균변화율은 \(n+1\) 이다. 이때, 함수 \(y=f(x)\) 의 구간 \([1,\;100]\) 에서의 평균변화율을 구하시오. 정답 \(51\)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(1 \leq f'(x) \leq 3\) 이다. (나) 모든 정수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 점 \((4n, \;8n)\), 점 \((4n+1, \;8n+2)\), 점 \( (4n+2, \;8n+5)\), 점 \( (4n+3, \;8n+7)\) 을 모두 지난다. (다) 모든 정수 \(k\) 에 대하여 닫힌 구간 \([2k, \; 2k+1]\) 에서 함수 \(f(x)\) 의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다. \(\displaystyle \int_{3}^{6} f(x) dx=a\) 라 할 때, \(6a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(167\)

함수 \(f(x)=x^3 -3x\) 에 대하여 구간 \([0,\; a_1 ]\) 에서의 평균변화율과 같은 순간변화율(미분계수)을 갖는 점의 \(x\) 좌표를 \(a_2\), 구간 \([0, \; a_2 ] \) 에서의 평균변화율과 같은 순간변화율(미분계수)을 갖는 점의 \(x\) 좌표를 \(a_3\) 라고 하자. 이와 같이 계속하여 \(a_4 , \; a_5 , \; \cdots\) 를 정할 때, 옳은 내용을 에서 모두 고른 것은? (단, \(a_1 ,\; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots\) 은 양수이다. ㄱ. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f(a_n ) >f(a_{n+1})\) 이다. ㄴ. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f'(a_n ) > f'(a_{n+1})\) 이다. ㄷ. ..

\(x>0\) 일 때, 평균값의 정리를 이용하여 다음 부등식을 만족시키는 \(a, \;b\) 의 값을 구하여라. \[ a