수악중독

좌표공간 위에 두 구 $$S_1 \; : \; x^2+y^2+(z+2)^2=4, \;\; S_2\; :\; x^2+y^2+(z-1)^2=1$$에 대하여 원점을 지나지 않는 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 $S_1, \; S_2$ 와 동시에 접하고, 평면 $\alpha$ 와 구 $S_1$ 의 교점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm P$ 는 $yz$ 평면 위에 있고 평면 $\beta$ 는 직선 $\rm OP$ 와 평행하다.평면 $\beta$ 와 $yz$ 평면의 교선을 $l$ 이라 할 때, 직선 $l$ 이 두 구 $S_1, \; S_2$ 와 동시에 접하는 임의의 평면과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\sin \theta$ 의 최댓값이 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3..

공간도형의 기본 성질, 평면의 결정조건, 직선과 평면의 위치 관계 직선과 평면의 평행에 관한 성질 - 알고 있으면 도움되는 심화 내용 (1) 평행한 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 또 다른 평면 $\gamma$ 와 만나서 생기는 교선을 각각 $l, \; m$ 이라고 하면, 두 교선 $l, \;m$ 은 서로 평행하다. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 는 평행하므로 만나지 않는다. 따라서 평면 $\alpha$ 에 포함된 직선 $l$ 과 평면 $\beta$ 에 포함된 직선 $m$도 서로 만나지 않는다. 그런데 두 직선 $l, \;m$ 은 모두 평면 $ \gamma$ 에 있으므로 $l \parallel m$ 이다. (2) 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 평행하면 평면 $\..

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 와 교선 \(\rm A_1A_4\) 를 갖고, \(\angle \rm A_2=90^{\rm o}\) 인 사각형 \(\rm A_1A_2A_3A_4\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{{\rm A}_k{\rm A}_{k+1}}=5-k \;\; (k=1,\;2,\;3)\) (나) 평면 \(\alpha\) 와 선분 \({\rm A}_k{\rm A}_{k+1}\) 이 이루는 각을 \(\theta_k\) 라 할 때, \(\sin \theta_k=\dfrac{k}{6}\) 이다. (\(k=2, \;3\)) \(\angle \rm A_4=\theta\) 라 하자. \(20 \tan ^2 \theta\) 의 값을 구하시오. 정답 \(45\)

그림과 같이 밑면의 반질므의 길이가 \(5\) 인 원기둥이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원기둥의 내부에 중심이 점 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(3\) 인 구 \(S_1\) 이 원기둥의 밑면과 옆면에 내접하며 놓여있다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구 \(S_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 구 \(S_2\) 는 원기둥과 구 \(S_1\) 에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \; B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=120^{\rm o}\) 이다..

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 \(7\) 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 \(5\) 이고 높이가 \(12\)인 월뿔이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑변의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\), 원뿔의 꼭짓점을 \(\rm A\) 라 하자. 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(4\) 인 구 \(S\) 가 다음 조건을 만족한다. (가) 구 \(S\) 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \;B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=180^{\rm o}\) 이다. 직선 \(..

좌표공간에서 두 구 \(x^2 +(y-1)^2 +z^2 =1\), \( (x-k)^2 + (y-1)^2 +z^2 =1\) 의 평면 \(x+y-z=-10\) 위로의 정사영이 오직 한 점만을 공유할 때, \(k^2\) 의 값은? ① \(6\) ② \(9\) ③ \(12\) ④ \(18\) ⑤ \(24\) 정답 ①

그림과 같이 \(\overline {\rm AB} =2,\; \overline{\rm AD}=3,\; \overline{\rm AE}=4\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 평면 \(\rm AFGD\) 와 평면 \(\rm BEG\) 의 교선을 \(l\) 이라 하자. 직선 \(l\) 과 평면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos ^2 \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{7}\) ② \(\dfrac{2}{7}\) ③ \(\dfrac{3}{7}\) ④ \(\dfrac{4}{7}\) ⑤ \(\dfrac{5}{7}\) 정답 ⑤

좌표공간에서 직선 \(\dfrac{x-1}{2}= y+1=-z\) 가 \(xy\) 평면, \(zx\) 평면과 만나는 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자 이때, 선분 \(\rm AB\) 의 평면 \(x-z=0\) 위로의 정사영의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\) 정답 ①