수악중독

한 변의 길이가 \(1\) 인 정\(n\)각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 \(n\) 이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끈의 이동거리가 최소가 되도록 정\(n\)각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(S_3\) 는 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 \(3\) 인 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이때, \(S_{20}\) 의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) ① \({\displaystyle \frac{287}{2}}\pi\) ② \({\displaystyle \frac{289}{2}}\pi\..

서로 다른 자연수 \(a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots , \; a_n \) 에 대하여 \[a_{1}^{2} +a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdots + a_{n}^{2} = 2340\] 을 만족시키는 \(n\) 의 최댓값을 찾는 과정이다. \(\sum \limits _{k=1}{m} k^2 >2340\) 을 만족시키는 자연수 \(m\) 의 최솟값은 (가)이다. 따라서 \(a_{1}^{2} +a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdots + a_{n}^{2} = 2340\) 을 만족시키는 \(n\) 의 최댓값은 (가) 보다 작거나 같다. 한편, \(\sum \limits _{k=1}^{20} k^2 - \left (19^2 + (나) \right ) = 23..