수악중독

좌표공간에 평면 $\alpha : 2x+y+2z-9=0$ 과 구 $S:(x-4)^2+(y+3)^2+z^2=2$ 가 있다. $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | \le 3 \sqrt{2}$ 인 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm P$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}$ 의 최댓값이 $a+b\sqrt{2}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단 점 $\rm O$ 는 원점이고, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $21$

좌표평면 위에 $\overline{\rm AB}=5$ 인 두 점 $\rm A, \; B$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$ 인 두 원을 각각 $O_1, \; O_2$ 라 하자. 원 $O_1$ 위의 점 $\rm C$ 와 원 $O_2$ 위의 점 $\rm D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos (\angle \rm CAB) = \dfrac{3}{5}$(나) $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm CD} =30$ 이고 $\left | \overrightarrow{\rm CD} \right | < 9$ 이다. 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm PA} \cdo..

평면 위에 반지름의 길이가 $13$ 인 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 두 점 $\rm A, \; B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=24$ 이고, 이 평면 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |=5$(나) $\overrightarrow{\rm AB}$ 와 $\overrightarrow{\rm AP}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $5 \cos \theta$ 는 자연수이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $128$

좌표공간의 두 점 \(\rm A \left ( 2,\; \sqrt{2}, \; \sqrt{3} \right ), \;\; B \left ( 1, \; -\sqrt{2}, \; 2\sqrt{3} \right )\)에 대하여 점 \(\rm P\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\left | \overrightarrow {\rm AP} \right | =1 \)(나) \(\overrightarrow{\rm AP}\) 와 \(\overrightarrow{\rm AB}\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 이다. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 구 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarro..