(이과) 벡터 내적의 최댓값&내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2018년 6월 평가원 가형 29번)

좌표평면 위에 $\overline{\rm AB}=5$ 인 두 점 $\rm A, \; B$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$ 인 두 원을 각각 $O_1, \; O_2$ 라 하자. 원 $O_1$ 위의 점 $\rm C$ 와 원 $O_2$ 위의 점 $\rm D$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\cos (\angle \rm CAB) = \dfrac{3}{5}$

(나) $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm CD} =30$ 이고 $\left | \overrightarrow{\rm CD} \right | < 9$ 이다.

선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm PA} \cdot \overrightarrow{\rm PB}$ 의 최댓값이 $a+b\sqrt{74}$ 이다. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.)

정답 $31$