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목록무한등비급수 (37)
수악중독
첫째항이 \(1\) 인 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ,\;\; \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n \) 이 모두 수렴하고, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \dfrac{8}{3},\;\; \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \dfrac{4}{5}\) 가 성립한다. 이때, 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} (a_n + b_n )^2\) 의 합은? ① \(\dfrac{64}{15}\) ② \(5\) ③ \(\dfrac{32}{5}\) ④ \(\dfrac{15}{2}\) ⑤ \(10\) 정답 ①
어느 장학재단은 \(14\) 억 원의 기금을 조성하였다. 매년 초에 기금을 운용하여 연말까지 \(20\%\) 의 이익을 내고, 기금과 이익을 합한 금액의 \(40\%\) 를 매년 말에 장학금으로 지급하려 한다. 장학금으로 지급하고 남은 금액을 기금으로 하여 기금의 운용과 장학금의 지급을 매년 이와 같은 방법으로 실시할 계획이다. 이 계획대로 해마다 지급한 장학금의 총액의 극한값은? (단, 단위는 억 원이다.) ① \(24\) ② \(26\) ③ \(28\) ④ \(30\) ⑤ \(32\) 정답 ①
두 무한등비수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\}\) 에 대하여 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ,\;\;\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n\) 은 수렴한다. ㄴ. 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ,\;\;\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 이 발산하면 \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_n +b_n)\) 은 수렴한다. ㄷ. 두 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n ^3 ,\;\;..
임의의 자연수 \(p,\;q,\;r\) 에 대하여 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10,\;\; a_p +a_q +a_r =a_{p+q+r}\) 를 만족하고, 수열 \(\{b_n\}\) 은 \(b_1 = \dfrac{3}{5},\;\; b_p b_q = b_{p+q}\) 를 만족한다. 이때, \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n b_n}{n}\) 의 값을 구하시오. 정답 15
\(0\) 또는 \(2\) 로만 된 수열 \(\left \{ a_n \right \}\) 에서 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{a_n}{3^n}}\) 의 값이 \(\dfrac{3}{4}\) 일 때, \(\sum\limits_{n = 1}^{2007} {a_n}\) 의 값은? ① \(2000\) ② \(2002\) ③ \(2004\) ④ \(2006\) ⑤ \(2008\) 정답 ⑤
아래 그림과 같이 원 \({\rm O_1} \;:\;(x-4)^2 +(y-3)^2 =1\) 이 있다. 원점과 원 \(\rm O_1\) 의 중심을 지나는 직선 위에 중심이 오도록 하면서 반지름의 길이가 원 \(\rm O_1\) 의 반인 원 \(\rm O_2\) 를 원 \(\rm O_1\) 에 외접하도록 그린다. 이와 같은 방법으로 계속해서 원 \(\rm O_3 , \; O_4, \; \cdots , \; O_{\it n} ,\; \cdots\) 을 그려 나간다. 각 원의 중심의 좌표를 \( \left ( x_1 , y_1 \right ) ,\; \left (x_2, \; y_2 \right ) , \; \left ( x_3 ,\; y_3 \right ),\;\cdots ,\; \left ( {\it x_n..
그림과 같이 길이가 \(24\) 인 선분 \(\rm AB_1 \) 을 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_1 \) 이라 하고, 선분 \(\rm B_1 C_1 \) 을 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_2\) 라 한다. 또, 선분 \(\rm AB_2\) 를 \(2:1\) 로 외분하는 점을 \(\rm C_2 \) 라 하고, 선분 \(\rm B_2 C_2\) 를 \(1:4\) 로 외분하는 점을 \(\rm B_3 \) 이라 한다. 이와 같은 방법으로 \(\rm B_4 ,\;B_5 , \; \cdots\) 을 만들어 갈 때, 무한급수 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\overline {{\rm{A}}{{\rm{B}}_n}} } \) 의 합을 구하시오. 정답 72
\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 다항식 \( 30 x^{2n-2} +x^{n-1} \) 을 \(2x-1\) 로 나누었을 때의 나머지를 \(R_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(R_2 +R_3 +R_4 + \cdots \) 의 값을 구하시오. 정답 11
자연수 \(n\) 에 대하여 \(5^n\) 을 분모라 하는 기약분수 중에서 \(1\) 과 \(2\) 사이에 있는 수들의 합을 \(T_n\) 이라 하자. 예를 들면, \(T_1 = {\dfrac{6}{5}}+ {\dfrac{7}{5}}+ {\dfrac{8}{5}}+ {\dfrac{9}{5}} = 6\) 이다. 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} {\dfrac{1}{T_n}} = {\dfrac {b}{a}} \) 일 때, 상수 \(a, \;b\) 의 합 \(a+b\) 의 값은? (단, \(a,\; b\) 는 서로소인 자연수이다.) ① \(28\) ② \(29\) ③ \(30\) ④ \(31\) ⑤ \(32\) 정답 ②
그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \(2,\; 0)\) 을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_1\) 이라 하자. 또, 원 \(\rm C_1\) 과 직선 \(y=x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_2\), 원 \(\rm C_2\) 와 \(y\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_3\) 이라 하자. 또 원, \(\rm C_3\) 과 직선 \(y=-x\) 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_4\), 원 \(\rm C_4\) 와 \(x\) 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 \(\rm C_5\) 라 하자. 이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 \(y=x\) , \(y\) 축, 직선 \(y..