수악중독

첫째항이 \(1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 라 할 때, \[nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(S_{n+1}=S_n +a_{n+1}\) 이므로 \[n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠\] 이다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \[(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡\]이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터 \[na_{n+1}=(n+1)a_n + (가) \] 를 얻는다. 양변을 \(n(n+1)..

이차방정식 \(x^2 -x-1 =0\) 의 두 근을 \(\alpha, \; \beta\;\; (\alpha >\beta) \) 라 할 때, 수열 \(\{a_n\}\) 을 다음과 같이 정의한다. \[ a_n = { \frac{1}{\sqrt{5}}} \alpha ^n - { \frac{1}{\sqrt{5}}} \beta ^n \] \(a_{n+2} = p a_{n+1} +q {a_n}\) 이 성립할 때, 상수 \(p, \;q\) 의 합 \(p+q\) 의 값은? ① \(-1\) ② \(0\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(5\) 정답 ③

두 수열 \(\{a_n \},\;\; \{ b_n \}\) 이 다음과 같이 정의되어 있다. (가) \(a_1 = 1,\; b_1 =2\) (나) \(a_{n+1} - a_n = 2b_n \;\;\; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots ) \) (다) \(b_{n+1} - b_n = 2a_n \;\;\; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots ) \) 이 때, \(a_{100} + b_{100} \) 의 값은? ① \(100\) ② \(2^{100}\) ③ \(3^{100}\) ④ \(5^{50}\) ⑤ \(5^{100}\) 정답 ③