수악중독

좌표평면 위의 점 \( (-1, \;0)\) 에서 쌍곡선 \( x^2 - y^2 =2\) 에 그은 접선의 방정식을 \(y=mx+n\) 이라 할 때, \( m^2 +n^2\) 의 값은? (단, \(m, \; n\) 은 상수이다.) ① \(\dfrac{5}{2}\) ② \(3\) ③ \(\dfrac{7}{2}\) ④ \(4\) ⑤ \(\dfrac{9}{2}\) 정답 \(4\) 쌍곡선 \(x^2 - y^2=2\) 에 접하면서 기울기가 \(m\) 인 접선의 방정식은 \( y=mx \pm \sqrt{2m^2-2}\) 가 된다. 이 직선이 점 \((-1, \;0)\) 을 지나야 하므로 \[m=\pm \sqrt{2m^2-2}\] 양변을 제곱하면 \[m^2=2m^2-2\] 따라서 \(m^2=2\) 가 된다.또한 \(n..

그림과 같이 점 \(\rm A(1, \;0)\) 에서 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1\) 에 그은 접선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 \( \rm P, \;Q\) 라 하자. 세 점 \( \rm A, \;P, \;Q\) 를 지나는 원의 내부가 쌍곡선에 의해 나뉘어서 생긴 두 영역 중에서 넓이가 큰 영역을 \( x\) 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 \( V\) 이다. \(\dfrac{V}{\pi}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(26\)

직선 \( y=2\) 위의 점 \( \rm P\) 에서 타원 \(x^2 +\dfrac{y^2}{2}=1\) 에 그은 두 점선의 기울기의 곱이 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 점 \(\rm P\) 의 \(x\) 좌표를 \(k\) 라 할 때, \(k^2\) 의 값은? ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ②

자연수 \( n\) 에 대하여 점 \( (-n, \;0)\) 을 지나고 제1사분면에서 포물선 \( y^2=4x\) 에 접하는 직선의 기울기를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{10} \left ( \dfrac{1}{a_n} \right )^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(55\)

원점에서 곡선 \(y=(x-a)e^{-x}\) 에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 자연수 \(a\) 의 최솟값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①