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목록수학1- 문제풀이 (584)
수악중독
첫째항이 자연수인 수열 ${a_n}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases}a_n -2 & (a_n \ge 0) \\ a_n+5 & (a_n
자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 직선 $y=nx$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 하자. 다음은 삼각형 ${\rm A}_n{\rm OB}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3}$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 $y=nx$ 에 수직인 직선의 방정식은 $$y= \boxed{\; (가) \; } \times x +n^2+1$$ 이므로 두 점 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 의 좌표를 이용하여 $S_n..
그림과 같이 두 점 $\rm O, \; O'$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$ 인 두 원$O, \; O'$ 이 한 평면 위에 있다. 두 원 $\rm O, \; O'$ 이 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\angle {\rm AOB} = \dfrac{5}{6} \pi$ 이다. 원 $O$ 의 외부와 원 $O'$의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_1$, 마름모 $\rm AOBO'$ 의 넓이를 $S_2$ 라 할 때, $S_1 - S_2$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{4}\pi$ ② $\dfrac{4}{3}\pi$ ③ $\dfrac{17}{12}\pi$ ④ $\dfrac{3}{2}\pi$ ⑤ $\dfrac{19}{12}\pi$ 더보기 정답 ④
함수 $$ f(x) = \begin{cases} 2^x & (x
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=5, \; \overline{\rm BC}=4, \; \cos (\angle {\rm ABC})=\dfrac{1}{8}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\angle {\rm ABC}$ 의 이등분선과 $\angle {\rm CAB}$ 의 이등분선이 만나는 점을 $\rm D$, 선분 $\rm BD$ 의 연장선과 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원이 만나는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\overline{\rm AC}=6$ ㄴ. $\overline{\rm EA}=\overline{\rm EC}$ ㄷ. $\overline{\rm ED}=\dfrac{31}{8}$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ..
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2, \; \overline{\rm AC} // \overline{\rm BD}, \; \overline{\rm AC} : \overline{\rm BD} = 1:2$ 인 두 삼각형 $\rm ABC, \; ABD$ 가 있다. 점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발 $\rm H$ 는 선분 $\rm AB$ 를 $1:3$ 으로 내분한다. 두 삼각형 $\rm ABC, \; ABD$ 의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $r, \; R$ 라 할 때, $4 \left (R^2 - r^2 \right ) \times \sin ^2 ( \angle {\rm CAB})=51$ 이다. ${\overline{\rm AC}}^2$ 의 값을 구하시오. (단, ..
$0 \le x < 4\pi$ 일 때, 방정식 $$4 \sin ^2 x - 4 \cos \left ( \dfrac{\pi}{2} + x \right ) -3=0$$ 의 모든 해의 합은? ① $5\pi$ ② $6\pi$ ③ $7\pi$ ④ $8\pi$ ⑤ $9\pi$ 더보기 정답 ②
상수 $k\; (k>1)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$ 이 있다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n 1$ 이므로 방정식 $2^x=kx+1$ 은 오직 하나의 양의 실근 $d$ 를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$ 이고, 수열 $\{a_n\}$ 은 공차가 $d$ 인 등차수열이다. 점 ${\rm Q}_n$ 의 좌표가 $\left ( a_{n+1}, \; 2^{a_n} \right )$ 이므로 $$A_n = \dfrac{1}{2} (a_{n+1} - a_n ) \left ( 2^{a_{n+1}}-2^{a_n} \right )$$ 이다. $\dfrac{A_3}{A_1} = 16$ 이므로 $d$ 의 값은 $\boxed{ \; (가) \; }..
$\dfrac{1}{4}
수열 $\{a_n\}$ 은 $0