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목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이/공간도형 및 공간좌표 (102)
수악중독
좌표공간에서 원점을 지나는 구 \(S\) 와 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =1\) 이 만나서 생기는 교선은 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 원이 된다. 구 \(S\) 의 중심이 나타내는 도형 전체의 겉넓이는? ① \(\dfrac{2}{3}\pi\) ② \(\dfrac{5}{6}\pi\) ③ \(\pi\) ④ \(\dfrac{7}{6}\pi\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\pi\) 정답 ⑤
그림과 같이 \(\overline {\rm AB} =2,\; \overline{\rm AD}=3,\; \overline{\rm AE}=4\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 평면 \(\rm AFGD\) 와 평면 \(\rm BEG\) 의 교선을 \(l\) 이라 하자. 직선 \(l\) 과 평면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos ^2 \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{7}\) ② \(\dfrac{2}{7}\) ③ \(\dfrac{3}{7}\) ④ \(\dfrac{4}{7}\) ⑤ \(\dfrac{5}{7}\) 정답 ⑤
반지름의 길이가 \(1\), 중심이 \(\rm O\) 인 원을 밑면으로 하고 높이가 \(2\sqrt{2}\) 인 원뿔이 평면 \(\alpha\) 에 놓여 있다. (단, 원뿔의 한 모선이 평면 \(\alpha\) 에 포함된다.) 그림과 같이 원뿔을 평면 \(\alpha\) 와 평행하고 원뿔의 밑면의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 일부분은 포물선이다. 이때 단면의 넓이는? ① \(\dfrac{13}{8}\) ② \(\dfrac{7}{4}\) ③ \(\dfrac{15}{8}\) ④ \(2\) ⑤ \(\dfrac{17}{8}\) 정답 ④
그림과 같이 모든 모서리의 길이가 같은 정육각기둥 \(\rm ABCDEF-GHIJKL\) 에서 밑면의 세 대각선 \(\rm GJ,\; HK, \; IL\) 의 교점을 \(\rm O\) 라 하자. 평면 \(\rm BOF\) 와 평면 \(\rm CIJD\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{\sqrt{15}}{5}\) ② \(\dfrac{\sqrt{15}}{6}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{15}}{7}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{15}}{8}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{15}}{9}\) 정답 ①
그림과 같이 반지름의 길이가 \(4\) 이고 중심이 \(\rm C_1 ,\;C_2\) 인 두 구가 서로 외접해 있고, 반지름의 길이가 \(1\) 이고 중심이 \(\rm C_3\) 인 구가 중심이 \(\rm C_1\) 인 구에만 외접해 있다. 세 구가 같은 평면 \(\alpha\) 에 접하고 삼각형 \(\rm C_1 C_2 C_3\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영을 삼각형 \(\rm C_1 ' C_2 ' C_3 ' = 90^o\) 일 때, 선분 \(\rm C_2 C_3\) 의 길이는? ① \(2\sqrt{14}\) ② \(\sqrt{57}\) ③ \(\sqrt{58}\) ④ \(\sqrt{59}\) ⑤ \(2\sqrt{15}\) 정답 ②
그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(4\) 인 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 면인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심 \(\rm G\) 에 접하면서 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 면 \(\rm BCD\) 를 포함하는 평면 \(\alpha\) 에 접하는 구가 있다. 구의 중심 \(\rm P\) 와 무게중심 \(\rm G\) 를 지나고 직선 \(\rm CD\) 에 평행한 평면을 \(\beta\) 라 할 때, 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 예각의 크기 \(\theta\) 에 대하여 \(\cos ^2 \theta=\dfrac{q}{p}\) 이다. 이때, 서로소인 두 자연수 \(p, \; q\) 의 합 \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 17
그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(4\) 인 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 모서리 \(\rm BF, \; CG,\; BC\) 의 중점을 각각 \(\rm I, \; J,\; K\) 라 하자. 점 \(\rm K\) 에서 평면 \(\rm AIJD\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm L\), 직선 \(\rm DI\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm M\) 이라 할 때, 선분 \(\rm LM\) 의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) ② \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) ③ \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\) ④ \(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\) ⑤ \(\sqrt{5}\) 정답 ②
그림과 같이 한 변의 길이가 \(12\) 인 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에 내접하는 구가 있다. 변 \(\rm AE, \; CG\) 를 \(1:3\) 으로 내분하는 점을 각각 \(\rm P, \; R\) 라 하고 변 \(\rm BF\) 의 중점을 \(\rm Q\) 라 한다. 네 점 \(\rm D, \; P,\; Q,\; R\) 를 지나는 평면으로 내접하는 구를 자를 때 생기는 원의 넓이는? ① \(26 \pi\) ② \(28 \pi\) ③ \(30 \pi\) ④ \(32 \pi\) ⑤ \(34 \pi\) 정답 ②
좌표공간에서 구 \[S:\;(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2 =4\] 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b \sqrt{3} \right ) \pi \) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 자연수이다.) 정답 13