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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/적분 (128)
수악중독
구간 $[0, \;1]$ 에서 정의된 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) dt \;\; (0 \le x \le 1)$$ 은 다음 조건을 만족시킨다.(가) $F(x) = f(x)-x$(나) $\displaystyle \int_0^1 F(x) dx = e - \dfrac{5}{2}$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. $F(1)=e$ㄴ. $\displaystyle \int_0^1 x F(x) dx = \dfrac{1}{6}$ㄷ. $\displaystyle \int_0^1 \left \{ F(x) \right \}^2 dx = \dfrac{1}{2} e^2 -2e+\dfrac{11}{6}$ ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ..
닫힌 구간 $[0, \;1]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 $$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2, \;\;\; \int_0^1 |f(x)| dx = 2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 가 $$F(x)=\displaystyle \int_0^x |f(t)|dt \;\;(0 \le x \le 1)$$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx$ 의 값은? ① $4-\sqrt{2}$ ② $2+\sqrt{2}$ ③ $5-\sqrt{2}$ ④ $1+2\sqrt{2}$ ⑤ $2+2\sqrt{2}$ 정답 ④
곡선 $f(x)=\dfrac{x}{e^{x-2}}$ 위의 점 ${\rm P}(t, \; f(t)) \;(t>0)$ 에 대하여 점 $\rm P$ 를 지나고 직선 $\rm OP$ 에 수직인 직선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\rm Q, \; R$ 라 하자. 두 선분 $\rm OQ, \; OR$ 의 길이 중 크지 않은 값을 $g(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_1^2 g(t) dt = pe -q$ 이다. $20pq$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p, \;q$ 는 유리수이다.) 정답 $80$
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\displaystyle \int_1^x \dfrac{\ln t}{1+t} dt$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)+f \left ( \dfrac{1}{x} \right )$$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^8 g \left ( e^k \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $102$
그림과 같이 $x$ 좌표가 $1, \;2,\;3,\; \cdots, \; n$ 인 $x$ 축 위의 점에서 $y$ 축에 평행한 직선을 그어 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $n$ 개 만든다. 이 직사각형들이 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 에 의하여 잘려진 윗부분들의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{n^2+1}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다) 정답 $17$
양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족한다. (가) $\left ( \dfrac{f(x)}{x} \right )' = x^2 e^{-x^2}$(나) $g(x) = \dfrac{4}{e^4} \displaystyle \int_1^x e^{t^2}f(t) dt$ $f(1)=\dfrac{1}{e}$ 일 때, $f(2)-g(2)$ 의 값은? ① $\dfrac{16}{3e^4}$ ② $\dfrac{6}{e^4}$ ③ $\dfrac{20}{3e^4}$ ④ $\dfrac{22}{3e^4}$ ⑤ $\dfrac{8}{e^4}$ 정답 ③
함수 $f \left (e^x \right ) = ax^3 + bx^2 +cx+d$ (단, $a, \;b, \;c, \;d$ 는 상수) 가 다음 조건을 만족한다. (가) $f(e)=3, \;\; f \left (e^2 \right ) =12 $(나) 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{e^{-x}}^{e^x} \dfrac{f(t)}{t} dt = 0$ 이 성립한다. $\displaystyle \int_1^{e^4} \dfrac{f(x)}{x} dx$ 의 값은? ① $80$ ② $82$ ③ $84$ ④ $86$ ⑤ $88$ 정답 $80$
함수 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$ 에 대해서 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left (1+ \dfrac{2k}{n} \right )$ 의 값은? ① $\ln \dfrac{9}{8}$ ② $\ln \dfrac{5}{4}$ ③ $\ln \dfrac{11}{8}$ ④ $\ln \dfrac{3}{2}$ ⑤ $\ln \dfrac{13}{8}$ 정답 ④
그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(x, \;0), \; {\rm B}(x, \;f(x))$ 를 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 $x$ 축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 $\rm A$의 $x$ 좌표가 $x=1$ 에서 $x=\ln 6$ 까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는 $-a+b \ln 6$ 이다. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 자연수이다.) 정답 $12$
$0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 인 $\theta$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 $l, \; m$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $l, \;m$ 은 서로 평행하고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 $\theta$ 이다.(나) 두 직선 $l, \;m$ 은 곡선 $y=\sqrt{2-x^2} \;(-1 \le x \le 1)$ 과 각각 만난다. 두 직선 $l$ 과 $m$ 사이의 거리의 최댓값을 $f(\theta)$라 할 때, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) d \theta = a+b \sqrt{2} \pi$ 이다.$20(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$는 유리수이다.) 정답..