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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/함수의 극한 및 연속 (134)
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연속함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} =a\) 를 만족할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a \ne -1\) 인 상수이다.) ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^3 -1} = \dfrac{a}{3}\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-f(x)}{x+f(x)} = \dfrac{1-a}{1+a}\) ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린구간 \((0,\;1)\) 에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
함수 \(f(x)\) 가 다음 두 조건을 만족한다. (가) 함수 \(f(x)\) 모든 실수에서 연속이다. (나) 모든 정수 \(m\) 에 대하여 \(f(2n)=1\) 이고 \(f(2n+1)=-1\) 이다. 함수 \(f(x)\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(x)\) 는 역함수가 존재하지 않는다. ㄴ. 닫힌구간 \([1,\;2]\) 에서 \(f(x)\) 의 최댓값은 \(1\) 이다. ㄷ. 자연수 \(m\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=0\) 은 열린구간 \((0,\;2m)\) 에서 적어도 \(2m\) 개의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\left ( x^2 +\dfrac{1}{2} \right ) ^2 -2}{\left ( x^2 + \dfrac{1}{2} \right )^n +2}\) 에 대하여 \(f \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) + \lim \limits_{x \to \frac{\sqrt{2}}{2}-0} f(x)\) 의 값은? ① \(-\dfrac{4}{3}\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ①
두 함수 \(f(x)= \left | x-1 \right | ,\; g(x)=[x]\) 일 때, \(h(x)=f(x)g(x)\) 라 하자. 함수 \(y=h(x)\) 에 대하여 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 를 넘지 않는 최대 정수이다.) ㄱ. \(x=1\) 에서 함숫값은 \(0\) 이다. ㄴ. \(x=1\) 에서 극한값은 \(1\) 이다. ㄷ. 모든 정수에서 불연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ①
그림과 같이 곡선 \(y=\sqrt{x}\) 위의 점 \({\rm P} \left ( t,\; \sqrt{t} \right )\) 를 지나고 선분 \(\rm OP\) 에 수직인 직선 \(l\) 의 \(x\) 절편과 \(y\) 절편을 각각 \(f(t),\; g(t)\) 라고 할 때, \(\lim \limits_{t \to \infty} \dfrac{g(t)-f(t)}{g(t)+f(t)}\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점, \(t \ne 0\) ) 정답 1
모든 실수에서 정의된 함수 \(y=f(x)\) 에 대하여 함수 \(y=x^k f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속이 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(k\) 를 \( N(f)\) 로 나타내자. 예를 들면 , $f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ 이면 \(N(f)=2\) 이다. 다음 함수 \(g_i \; (i=1,\;2,\;3)\) 에 대하여 \(N(g_i ) = a_i \) 라 할 때, \( a_i\) 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? ① \(a_1 = a_2 < a_3 \) ② \(a_1
함수 \(f(x)=x^2 -4x+a\) 와 함수 \(g(x) = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2 \left | x-b \right | ^n +1}{\left | x-b \right | ^n +1} \) 에 대하여 \(h(x)=f(x)g(x)\) 라 하자. 함수 \( h(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 연속이 되도록 하는 두 상수 \(a,\;b\) 의 합 \( a+b\) 의 값은?① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ③
모든 실수에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x)= \begin{cases} \dfrac{ax}{x-1} & ( |x|>1) \\[10pt] \dfrac{a}{1-x} & (|x|
실수 \(a\) 에 대하여 집합 \[\{ x \; \vert \; ax^2 +2(a-2)x-(a-2)=0,\;x는\; 실수\}\] 의 원소의 개수를 \(f(a)\) 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{a \to 0} f(a)=f(0)\) ㄴ. \(\lim \limits_{a \to c+0}f(a) \ne \lim \limits_{a \to c-0} f(a)\) 인 실수 \(c\) 는 \(2\) 개다. ㄷ. 함수 \(f(a)\) 가 불연속인 점은 \(3\) 개다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④