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목록(고1) 수학 - 문제풀이/도형의 방정식 (139)
수악중독
이차함수 $y=-x^2$ 의 그래프를 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 후, $x$ 축의 방향으로 $4$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $m$ 만큼 평행이동한 그래프가 직선 $y=2x+3$ 에 접할 때, 상수 $m$ 의 값은? ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ⑤
그림과 같이 좌표평면 위에 두 원 $$\begin{aligned} C_1 &: (x-8)^2+(y-2)^2=4, \\ C_2 &: (x-3)^2+(y+4)^2=4\end{aligned}$$ 와 직선 $y=x$ 가 있다. 점 $\mathrm{A}$ 는 원 $C_1$ 위에 있고, 점 $\mathrm{B}$ 는 원 $C_2$ 위에 있다. 점 $\mathrm{P}$ 는 $x$ 축 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $y=x$ 위에 있을 때, $\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{QB}}$ 의 최솟값은? (단, 세 점 $\mathrm{A, \; P, \; Q}$ 는 서로 다른 점이다.) ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ ..
그림과 같이 $\angle \mathrm{A} = \angle \mathrm{B}=90^{\mathrm{o}}$, $\overline{\mathrm{AB}}=4, \; \overline{\mathrm{BC}}=8$ 인 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AD}$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 두 직선 $\mathrm{AC, \; BP}$ 가 점 $\mathrm{Q}$ 에서 서로 수직으로 만날 때, 삼각형 $\mathrm{AQD}$ 의 넓이는? ① $\dfrac{6}{5}$ ② $\dfrac{13}{10}$ ③ $\dfrac{7}{5}$ ④ $\dfrac{3}{2}$ ⑤ $\dfrac{8}{5}$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 기울기가 $2$ 인 직선 $l$ 이 원 $x^2+y^2=10$ 과 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서 만나고 $\overline{\mathrm{AB}}=2\sqrt{5}$ 이다. 직선 $\mathrm{OA}$ 와 원이 만나는 점 중 $\mathrm{A}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 직선 $l$ 과 만나는 점을 $\mathrm{D}(a, \; b)$ 라 할 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $-8$ ② $-\dfrac{15}{2}$ ③ $-7$ ④ $-\dfrac{1..
좌표평면 위에 세 점 $\mathrm{A}(0, \; 4), \; \mathrm{B})(4, \; 4), \; \mathrm{C}(4, \; 0)$ 이 있다. 세 선분 $\mathrm{OA, \; AB, \; BC}$ 를 $m:n \; (m>0, \; n>0)$ 으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 라 하고, 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ㄱ. $m=n$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $(0, \; 2)$ 이다. ㄴ. 점 $\left ( \dfrac{4m}{m+n},\; 0 \right )$ 은 원 $C$ 위의 점..
좌표평면에서 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선이 원 $(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 과 만나도록 하는 자연수 $r$ 의 최솟값을 구하시오. 더보기 정답 $8$ 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선의 방정식은 $3x-4y=25$ $(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 중심 $(6, \; 8)$ 과 직선 $3x-4y=25$ 사이의 거리가 반지름 $r$ 보다 작거나 같아야 하므로 $\dfrac{|18-32-25|}{5} \le r$ $\dfrac{39}{5} \le r$ 따라서 자연수 $r$ 의 최솟값은 $8$ 이다.
좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(-5, \; -1)$, $\mathrm{B, \; C}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 무게중심의 좌표는 $(-1, \; 1)$ 이다. (나) 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 를 지나는 원의 중심은 원점이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\sqrt{105}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$
이차함수 $y=f(x)$ 가 있다. 중심이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위에 있고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 중에서 다음 조건을 만족시키는 중심이 서로 다른 원의 개수는 $5$ 이다. 원을 $x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $m$ 만큼 평행이동한 원이 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하도록 하는 실수 $m$ 의 값이 $1$ 개 이상 존재한다. 이 $5$ 개의 원의 중심의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4, \; x_5$ 라 하자. $$x_1=0, \quad x_2+x_3+x_4+x_5=20$$ 이고 $x_1 \le x \le x_5$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $0$ 보다 클 때, $f(20)$ 의 값을 ..
수직선 위의 두 점 $\mathrm{A}(-5), \; \mathrm{B}(1)$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $3:1$ 로 외분하는 점의 좌표는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ①