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목록(고1) 수학 - 문제풀이/도형의 방정식 (146)
수악중독
그림과 같이 기울기가 $2$ 인 직선 $l$ 이 원 $x^2+y^2=10$ 과 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서 만나고 $\overline{\mathrm{AB}}=2\sqrt{5}$ 이다. 직선 $\mathrm{OA}$ 와 원이 만나는 점 중 $\mathrm{A}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 직선 $l$ 과 만나는 점을 $\mathrm{D}(a, \; b)$ 라 할 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $-8$ ② $-\dfrac{15}{2}$ ③ $-7$ ④ $-\dfrac{1..
좌표평면 위에 세 점 $\mathrm{A}(0, \; 4), \; \mathrm{B})(4, \; 4), \; \mathrm{C}(4, \; 0)$ 이 있다. 세 선분 $\mathrm{OA, \; AB, \; BC}$ 를 $m:n \; (m>0, \; n>0)$ 으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 라 하고, 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ㄱ. $m=n$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $(0, \; 2)$ 이다. ㄴ. 점 $\left ( \dfrac{4m}{m+n},\; 0 \right )$ 은 원 $C$ 위의 점..
좌표평면에서 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선이 원 $(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 과 만나도록 하는 자연수 $r$ 의 최솟값을 구하시오. 더보기 정답 $8$ 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(3, \; -4)$ 에서의 접선의 방정식은 $3x-4y=25$ $(x-6)^2+(y-8)^2=r^2$ 중심 $(6, \; 8)$ 과 직선 $3x-4y=25$ 사이의 거리가 반지름 $r$ 보다 작거나 같아야 하므로 $\dfrac{|18-32-25|}{5} \le r$ $\dfrac{39}{5} \le r$ 따라서 자연수 $r$ 의 최솟값은 $8$ 이다.
좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A}(-5, \; -1)$, $\mathrm{B, \; C}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 무게중심의 좌표는 $(-1, \; 1)$ 이다. (나) 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 를 지나는 원의 중심은 원점이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\sqrt{105}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$
이차함수 $y=f(x)$ 가 있다. 중심이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위에 있고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 중에서 다음 조건을 만족시키는 중심이 서로 다른 원의 개수는 $5$ 이다. 원을 $x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $m$ 만큼 평행이동한 원이 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하도록 하는 실수 $m$ 의 값이 $1$ 개 이상 존재한다. 이 $5$ 개의 원의 중심의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4, \; x_5$ 라 하자. $$x_1=0, \quad x_2+x_3+x_4+x_5=20$$ 이고 $x_1 \le x \le x_5$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $0$ 보다 클 때, $f(20)$ 의 값을 ..
수직선 위의 두 점 $\mathrm{A}(-5), \; \mathrm{B}(1)$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $3:1$ 로 외분하는 점의 좌표는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ①
점 $(6, \; a)$ 를 지나고 직선 $3x+2y-1=0$ 에 수직인 직선이 원점을 지날 때, $a$ 의 값은? ① $3$ ② $\dfrac{7}{2}$ ③ $4$ ④ $\dfrac{9}{2}$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③
원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $\left ( a, \; 4\sqrt{3} \right )$ 에서의 접선의 방정식이 $x-\sqrt{3}y+b=0$ 일 때, $a+b+r$ 의 값은? (단, $r$ 는 양수이고, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $17$ ② $18$ ③ $19$ ④ $20$ ⑤ $21$ 더보기 정답 ④
좌표평면 위에 사분원의 호 $C:x^2+y^2=25 \; (x \le 0, \; y \ge 0)$ 과 점 $\mathrm{A}(4, \;2 )$ 가 있다. 호 $C$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 점 $\mathrm{Q}$ 를 삼각형 $\mathrm{APQ}$ 의 무게중심이 원점과 일치하도록 잡는다. 점 $\mathrm{A}$ 를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A'}$ 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 중점의 좌표는 $(-2, \; -1)$ 이다. ㄴ. 선분 $\mathrm{A'Q}$ 의 길이는 항상 일정하다. ㄷ. 삼각형 $\mathrm{A'QP}$ 의 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라..
좌표평면 위의 네 점 $$\mathrm{A}(0, \; 1), \; \mathrm{B}(0, \; 4), \; \mathrm{C} \left (\sqrt{2}, \; p \right ), \; \mathrm{D} \left ( 3 \sqrt{2}, \; q \right )$$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (가) 직선 $\mathrm{CD}$ 의 기울기는 음수이다. (나) $\mathrm{\overline{AB}=\overline{CD}}$ 이고 $\mathrm{\overline{AD} \parallel \overline{BC}}$ 이다. 더보기 정답 $9$