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목록2022/09 (76)
수악중독
함수 $f(x)=e^x+x$ 가 있다. 양수 $t$ 에 대하여 점 $(t, \; 0)$ 과 점 $(x, \; f(x))$ 사이의 거리가 $x=s$ 에서 최소일 때, 실수 $f(s)$ 의 값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 의 역함수를 $h(t)$ 라 할 때, $h'(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $3$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 $g(x) \ge 0$ 인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \le -3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(-3)$ 이다. (나) $x>-3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x+3) \{f(x)-f(0) \}^2 = f'(x)$ 이다. $\displaystyle \int_4^5 g(x)dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $283$
실수 $p \; (p \ge 1)$ 과 함수 $f(x)=(x+a)^2$ 에 대하여 두 포물선 $$C_1 : y^2=4x, \quad C_2 : (y-3)^2=4p\{x-f(p)\}$$ 가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\rm A$ 라 하자. 두 포물선 $C_1, \; C_2$ 의 초점을 각각 $\rm F_1, \; F_2$ 라 할 때, $\overline{\rm AF_1}=\overline{\rm AF_2}$ 를 만족시키는 $p$ 가 오직 하나가 되도록 하는 상수 $a$ 의 값은? ① $-\dfrac{3}{4}$ ② $-\dfrac{5}{8}$ ③ $-\dfrac{1}{2}$ ④ $-\dfrac{3}{8}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ①
좌표공간에 두 개의 구 $$S_1 : x^2+y^2 +(z-2)^2=4, \quad S_2 : x^2 +y^2+(z+7)^2=49$$ 가 있다. 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{5}, \; 0, \; 0 \right )$ 을 지나고 $zx$ 평면에 수직이며, 구 $S_1$ 과 $z$ 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $z$ 좌표가 최소인 점을 $\rm B$ 라 하고 구 $S_2$ 와 점 $\rm B$ 에서 접하는 평면을 $\beta$ 라 하자. 원 $C$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\pi$ 일 때, $p+q$ 의 ..
좌표평면 위에 두 점 $\rm A(-2, \; 2), \; B(2, \; 2)$ 가 있다. $$\left ( \left | \overrightarrow{\rm AX} \right | -2 \right ) \left ( \left | \overrightarrow{\rm BX} \right | -2 \right ) = 0, \quad \left | \overrightarrow{\rm OX} \right | \ge 2 $$ 를 만족시키는 점 $\rm X$ 가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{u} = (1, \; 0)$ 에 대하여 $\left ( \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overright..
세 집합 $A, \; B, \; C$ 는 $$ \begin{aligned} A &= \left \{ (2+2\cos \theta, \; 2+2 \sin \theta) \left | -\dfrac{\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{\pi}{3} \right . \right \}, \\[10pt] B &= \left \{ (-2+2 \cos \theta, \; 2+2 \sin \theta) \left | \dfrac{2\pi}{3} \le \theta \le \dfrac{4\pi}{3} \right . \right \}, \\[10pt] C &= \left \{ (a, \; b) | -3 \le a \le 3, \; b=2\pm \sqrt{3} \right \} \end{aligned}$..
모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$\left (a \sin ^2 x - 4 \right ) \cos x +4 \ge 0$$ 을 만족시키는 실수 $a$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $14$
최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases}-x^2+2x+2 & (x
실수 $a, \; b, \; c$ 가 $$\begin{aligned} \log \dfrac{ab}{2} &=(\log a)(\log b), \\[10pt] \log \dfrac{bc}{2} &= (\log b)(\log c), \\[10pt] \log (ca) &= (\log c)(\log a) \end{aligned}$$ 를 만족시킬 때, $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \;c$ 는 모두 $10$ 보다 크다.) 더보기 정답 $250$