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목록2022/07/07 (19)
수악중독
두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$, $Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 의 개수는? (가) $\sqrt{f(1) \times f(2) \times f(3)}$ 의 값은 자연수이다. (나) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $x_1 < x_2$ 이면 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. ① $84$ ② $87$ ③ $90$ ④ $93$ ⑤ $96$ 더보기 정답 ②
두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 각각 $0 \le X \le a$, $0 \le Y \le a$ 이고, $X$ 와 $Y$의 확률밀도함수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하자. $0 \le x \le a$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 는 $$f(x)=b, \; g(x)={\rm P}(0 \le X \le x)$$ 이다. ${\rm P}(0 \le Y \le c)=\dfrac{1}{2}$ 일 때, $(a+b) \times c^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $5$
각 면에 숫자 $1, \; 1, \; 2, \; 2, \; 2, \; 2$ 가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 $6$ 번 던질 때, $n\; (1 \le n \le 6)$ 번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 $a_n$ 이라 하자. $a_1 + a_2 + a_3 > a_4 + a_5 + a_6$ 일 때, $a_1=a_4=1$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $133$
실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(-x)=f(x)$ (나) $f(x+2)=f(x)$ $\displaystyle \int_{-1}^5 f(x)(x+\cos2\pi x )dx = \dfrac{47}{2}, \; \int_0^1 f(x)dx = 2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f'(x) \sin 2\pi x dx$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{6}$ ② $\dfrac{\pi}{4}$ ③ $\dfrac{\pi}{3}$ ④ $\dfrac{5}{12}\pi$ ⑤ $\dfrac{\pi}{2}$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 호 $\rm AP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 호 $\rm PB$ 와 호 $\rm PQ$ 의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 $\rm AP, \; BQ$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하고 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm BAP = \theta$ 라 할 때, 두 선분 $\rm PR, \; QR$ 와 호 $\rm PQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 두 선분 $\rm PS, \; BS$ 와 호 $\rm BP$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를..
최고차항의 계수가 $3$보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=e^x f(x)$$ 이다. 양수 $k$ 에 대하여 집합 $\{x | g(x)=k, \; x\text{는 실수}\}$ 의 모든 원소의 합을 $h(k)$ 라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(k)$ 가 $k=t$ 에서 불연속인 $t$ 의 개수는 $1$ 이다. (나) $\lim \limits_{k \to 3e+} h(k) - \lim \limits_{k \to 3e-}h(k)=2$ $g(-6) \times g(2)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to -\infty}x^2e..
그림과 같이 ${\rm F}(6, \; 0), \; {\rm F'}(-6, \; 0)$ 을 두 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 점 ${\rm A} \left (\dfrac{3}{2}, \; 0 \right )$ 에 대하여 $\angle {\rm FPA} = \angle {\rm F'PA}$ 를 만족시키는 타원의 제$1$사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm F$ 에서 직선 $\rm AP$ 에 내린 수선의 발을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm OB}=\sqrt{3}$ 일 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a>0, \; b>0$ 이고 $\rm O$ 는 원점이다.) ① $16$ ② $20$ ③..
평면 위에 한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심 $\rm O$ 에 대하여 $\overrightarrow {\rm OD} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{\rm OB} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm OC}$ 를 만족시키는 점을 $\rm D$ 라 하자. 선분 $\rm CD$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\left | 2 \overrightarrow{\rm PA} + \overrightarrow{\rm PD} \right |$ 의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\rm P$ 를 $\rm Q$ 라 하자. $\left | \overrightarrow{\rm OR} \right |=\left | \overrightarrow{\..
공간에서 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구와 점 $\rm O$ 를 지나는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA, \; BC$ 가 서로 수직일 때, 구 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle {\rm PAO} = \dfrac{\pi}{3}$ (나) 점 $\rm P$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 선분 $\rm OA$ 위에 있다. $\cos (\angle {\rm PAB})=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ 일 때, 삼각형 $\rm PAB$ 의 평면 $\rm PAC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 ..