수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \begin{cases} f(x) & (0 \le x \le 2) \\[10pt] \dfrac{f(x)}{x-1} & (x2) \end{cases}$$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고, $g(2) \ne 0$ 이다. (나) 함수 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하지 않은 실수 $a$ 의 개수는 $1$ 이다. (다) $g(k)=0, \; g'(k)=\dfrac{16}{3}$ 인 실수 $k$ 가 존재한다. 함수 $g(x)$ 의 극솟값이 $p$ 일 때, $p^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $64$

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) $-1 \le x \le 1$ 에서 $f(x)

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm AB$ 의 중점 $\rm O$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 를 반지름으로 하는 사분원 $\rm OBC$ 가 있다. 호 $\rm BC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 위의 점 $\rm Q$ 가 $\angle \rm APC = \angle PCQ$를 만족시킨다. 선분 $\rm AP$ 가 두 선분 $\rm CO, \; CQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm PAB = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm RQS$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta^2}$ 의 값은? (단, $0..

두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8\}$, $Y=\{1, \; 2, \; 3\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f \; : \; X \to Y$ 의 개수는? (가) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $x_1 < x_2 $ 이면 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. (나) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$에 대하여 $(f \circ f \circ f)(x)=1$ 이다. ① $24$ ② $27$ ③ $30$ ④ $33$ ⑤ $36$ 더보기 정답 ②

일차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x (x-2)f(s)ds$$ 라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=tx$ 와 곡선 $y=g(x)$ 가 만나는 점의 개수를 $h(t)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $g(x)$ 에 대하여 $g(4)$ 의 값의 합을 구하시오. $g(k)=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $k$ 에 대하여 함수 $h(t)$는 $t=-k$ 에서 불연속이다. 더보기 정답 $56$

함수 $f(x)=x^3-x$ 와 상수 $a \; (a>-1)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 두 점 $(-1, \; f(-1))$, $(a, \; f(a))$ 를 지나는 직선을 $y=g(x)$라 하자. 함수 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (xa) \end{cases}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) 함수 $h(x)$는 일대일대응이다. $m+n$의 값은? (단, $m, \; n$ 은 상수이다.) ① $1$ ② $3$ ③ $5$ ④ $7$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ④

$a>1$인 실수 $a$에 대하여 좌표평면에서 두 곡선 $$y=a^x, \; \; y= \left | a^{-x-1}-1 \right |$$ 이 있다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 곡선 $y= \left | a^{-x-1}-1 \right |$ 은 점 $(-1, \; 0)$을 지난다. ㄴ. $a=4$ 이면 두 곡선의 교점의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. $a>4$ 이면 두 곡선의 모든 교점의 $x$ 좌표의 합은 $-2$ 보다 크다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ②