수악중독

검은 공 $4$ 개, 흰 공 $2$ 개가 들어 있는 주머니에 대하여 다음 시행을 $2$ 회 반복한다. 주머니에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼낸 후, 꺼낸 공 중에서 흰 공은 다시 주머니에 넣고 검은 공은 다시 넣지 않는다. 두 번째 시행의 결과 주머니에 흰 공만 $2$ 개 들어 있을 때, 첫 번째 시행의 결과 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수가 $2$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $41$

그림과 같이 $8$ 개의 칸에 숫자 $0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7$ 이 하나씩 적혀 있는 말판이 있고, 숫자 $0$ 이 적혀 있는 칸에 말이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수가 $3$ 이상이면 말을 화살표 방향으로 한 칸 이동시키고, 나오는 눈의 수가 $3$ 보다 작으면 말을 화살표 반대 방향으로 한 칸 이동시킨다. 위의 시행을 $4$ 회 반복한 후 말이 도착한 칸에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$라 하자. ${\rm E}(36X)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$

좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(6, \; 0), \; {\rm B}(6, \; 5)$ 와 음이 아닌 실수 $k$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OP} = k \left ( \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB} \right )$ 이고 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \le 21$ 이다. (나) $\left | \overrightarrow{\rm AQ} \right | = \left | \overrightarrow{\rm AB} \right |$ 이고 $\overrightarrow{\rm OQ} \c..

그림과 같이 포물선 $y^2=16x$ 의 초점을 $\rm F$ 라 하자. 점 $\rm F$ 를 한 초점으로 하고 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$ 을 지나며 다른 초점 $\rm F'$ 이 선분 $\rm AF$ 위에 있는 타원 $E$ 가 있다. 포물선 $y^2=16x$ 가 타원 $E$ 와 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm BF}=\dfrac{21}{5}$ 일 때, 타원 $E$ 의 장축의 길이는 $k$ 이다. $10k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $66$

[그림 1]과 같이 $\overline{\rm AB}=3, \; \overline{\rm AD}=2\sqrt{7}$ 인 직사각형 $\rm ABCD$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하자. 두 선분 $\rm BM, \; CM$ 을 접는 선으로 하여 [그림 2]와 같이 두 점 $\rm A, \; D$ 가 한 점 $\rm P$ 에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 $\rm PMB$ 과 평면 $\rm BCM$ 이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\cos \theta$ 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) ① $\dfrac{17}{27}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{19}{27}$ ④ $\dfrac{20}{27}$ ⑤ ..

두 집합 $X, \; Y$ 를 $$\begin{aligned} X &= \{ \{a_n\} | \{a_n\} \text{은 모든 항이 자연수인 수열이고,} \log a_n + \log a_{n+1} = 2n \} \\ Y &= \{a_4 | \{a_n\} \in X \}\end{aligned}$$ 라 하자. 집합 $Y$ 의 모든 원소의 합이 $p \times 100$ 일 때, $p$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $217$

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차다항식 $P(x), \; Q(x)$ 에 대하여 두 함수 $f(x)=(x+4)P(x)$, $g(x)=(x-4)Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f'(-4) \ne 0, \; f(4) \ne 0, \; g(-4) \ne 0$ (나) 방정식 $f(x)g(x)=0$ 의 서로 다른 모든 해를 크기 순으로 나열한 $-4, \; a_1, \; a_2, \; a_3, \; 4$ 는 등차수열을 이룬다. (다) $f'(a_i)=0$ 인 $i \in \{1, \; 2, \; 3\}$ 은 하나만 존재하고, 모든 $i \in \{1, \; 2, \; 3\}$에 대하여 $g'(a_i) \ne 0$ 이다. 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$ 가 서로 다른 두 점에서 만날 때..

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $$\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} \cos x & (\cos x \ge \sin x) \\ \sin x & (\cos x 0 \; \text{인 상수}) \end{aligned}$$ 이다. 닫힌구간 $\left [ 0, \; \dfrac{\pi}{4} \right ]$ 에서 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 의 교점의 개수가 $3$ 이 되도록 하는 $a$ 의 최솟값을 $p$ 라 하자. 닫힌구간 $\left [ 0, \; \dfrac{11}{12}\pi \right ]$ 에서 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=\cos px..

실수 $t \; (0

자연수 $n$에 대하여 함수 $$f(x)=\left | x^2-4 \right | \left (x^2+n \right )$$ 이 $x=a$ 에서 극값을 갖는 $a$ 의 개수가 $4$ 이상일 때, $f(x)$ 의 모든 극값의 합이 최대가 되도록 하는 $n$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③