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수악중독
\( \log_2 \left ( -x^2 +ax +4 \right ) \) 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 \(x\) 의 개수가 \(6\) 일 때, 모든 자연수 \(a\) 의 값의 곱을 구하시오. 정답 \(30\)
집합 \(U= \{ x \; |\; x \) 는 \(30 \) 이하의 자연 \( \} \)의 부분집합 \(A=\{ a_1 , \; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots, \; a_{15} \}\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 \(A\) 의 임의의 두 원소 \(a_i, \; a_j \;(i \ne j)\) 에 대하여 \(a_i +a_j \ne 31\) (나) \(\sum \limits_{i=1}^{15} a_i =264\) \(\dfrac{1}{31} \sum \limits_{i=1}^{15} a_i ^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(184\)
실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x + a\cos x,\;\;\;g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{0\;\;\;\;\;\left( {x
그림과 같이 중심이 \({\rm A}(3, \;0)\) 이고 점 \({\rm B}(6, \;0)\) 을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 \(\rm P\) 를 지나는 두 직선 \(\rm AP, \; BP\) 가 \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm Q, \;R\) 이라 하자. \(\angle \rm PBA = \theta\) 라 하고, 삼각형 \(\rm PQR\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \( \lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta ^5}\) 의 값을 구하시오. (단, \(0< \theta < \dfrac{\pi}{4}\) ) 정답 \(18\)
함수 \(f(x)\) 가 닫힌 구간 \([0, \;2]\) 에서 \( f(x)= |x-1|\) 이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+2)\) 를 만족시킬 때, 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=x+f(x)\] 라 하자. 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(a, \;b\) 의 순서쌍 \((a, \;b)\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{15} a_n\) 의 값을 구하시오. (가) \(n \leq a \leq n\) (나) \(0
좌표공간에 두 평면 \(\alpha\;:\;4y+3z-6=0\) 과 \(\beta \;:\; 2x+2y-z=0\) 이 있다. 점 \({\rm P} (1,\;0,\;2)\) 는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 있는 점이고 점 \( \rm Q\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | =6\) (나) 직선 \(\rm PQ\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{4}\) 이다. 점 \(\rm Q\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm Q_1\) 이라 할 때, 선분 \(\rm PQ_1\) 의 길이의 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\) 의 합은? ① ..
In the \(6 \times 4\) grid shown, \(12\) of the \(24\) squares are to be shaded so that there are two shaded squares in each row and three shaded squares in each column. Let \(\it N\) be the number of shadings with this property. Find the remainder when \(\it N\) is divided by 1000. 24개의 사각형 중 12개의 사각형을 칠하려고 한다. 각 행에는 두 개씩 칠해지고, 각 열에는 세 개씩 칠해지도록 12개의 사각형을 칠하는 경우의 수를 \( \it N\) 이라고 할 때, \(\it N\)..
그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 원에 외접하고 \( \angle {\rm CAB}=\angle{\rm BCA}=\theta\) 인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 점 \(\rm A\) 가 아닌 점 \(\rm D\) 를 \( \angle {\rm DCB}=\theta\) 가 되도록 잡는다. 삼각형 \(\rm BDC\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \( \lim \limits_{\theta \to + \theta} \{ \theta \times S(\theta)\} \) 의 값은? (단, \(0
주머니 속에 \(1\) 의 숫자가 적혀 있는 공 \(1\) 개, \(2\) 의 숫자가 적혀 있는 공 \(2\) 개, \(3\) 의 숫자가 적혀 있는 공이 \(5\) 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 \(1\) 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 \(2\) 번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 평균을 \(\overline{X}\) 라 하자. \({\rm P} \left ( \overline{X} =2 \right ) \) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{32}\) ② \(\dfrac{11}{64}\) ③ \(\dfrac{3}{16}\) ④ \(\dfrac{13}{64}\) ⑤ \(\dfrac{7}{32}\) 정답 ⑤
두 다항함수 \(f(x)\) 와 \(g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[g(x)=\left ( x^3 +2 \right ) f(x)\] 를 만족시킨다. \(g(x)\) 가 \(x=1\) 에서 극댓값 \(24\)를 가질 때, \(f(1)-f'(1)\) 의 값을 구하시오. 정답 16 지금보니까 원래 문제는 \(x=1\) 에서 극댓값을 갖는 것이 아니라 극솟값 \(24\) 를 갖는 문제였네요. 그래도 풀이는 달라지지 않기 때문에 귀차니즘으로 인하여 그냥 문제를 극솟값으로 만들었습니다. ^^;