수학1_여러 가지 수열_시그마 기호_난이도 상

임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(n\) 개의 자연수 \(a_1 ,\; a_2 , \; \cdots , \;a_n \) 각각의 양의 약수 중에서 가장 큰 홀수의 합을 \({\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )\) 이라 한다. 예를 들어, \({\rm P} ( 3, \; 4, \; 9, \; 12)  = 3+1+9+3=16\) 이다.  \({\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )\) 이 다음과 같은 성질을 만족한다.

(가) 자연수 \(a\) 에 대하여 \({\rm P} (2a) = {\rm P} (a) \) 이다.
(나) 자연수 \(a, \; b\) 에 대하여 \( {\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (b, \;a) \) 이다.
(다) 자연수 \(a, \; b\) 에 대하여 \( {\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (a)+{\rm P} (b) \) 이다.

연속한 \(2^n\) 개의 자연수 \(1, \;2, \;3, \; \cdots ,\; 2^n \) 에 대하여 \(S_n ={\rm P} \left (1, \; 2,\; 3,\; \cdots , \; 2^n \right ) \) 이라 할 때, \(S_n\) 을 구하면?

① \(\dfrac {4^n +2}{3}\)                                ② \(4 \cdot 3^{n-1} - 2^n \)
③ \( 6n^2 -14n +10 \)                  ④ \({\dfrac {n(n-1)(2n-1)}{6}} +2\)
⑤ \( 2^{2^{n} -1} -1\) 

정답 ①