미적분과 통계기본_확률_수학적 확률_난이도 하

한 모서리의 길이가 1인 정육면체 $\rm ABCD-DEFG$ 위에 동점 $\rm P$가 있다. 점 $\rm P$는 한 번 이동할 때마다 한 꼭짓점에서 그 꼭짓점과 이웃한 세 꼭짓점 중 임의의 한 점으로 이동한다. 예를 들어, 점 $\rm P$가 점 $\rm A$에서 이동할 때는 세 점 $\rm B,\;D,\;E$ 중 한 점으로 이동하고, 이 세 꼭짓점으로 이동할 확률은 각각 $\dfrac{1}{3}$이다. 이와 같은 방법으로 점 $\rm P$가 점 $\rm A$에서 출발하여 세 번 이동할 때, 두 점 $\rm A,\;P$ 사이의 거리가 1일 확률은?

① $\dfrac{7}{9}$          ② $\dfrac{22}{27}$          ③ $\dfrac{23}{27}$          ④ $\dfrac{8}{9}$          ⑤ $\dfrac{25}{27}$          

정답 ①

혹은 여사건을 이용해서 문제를 풀 수도 있습니다.

세 번 이동하여 갈 수 있는 꼭짓점은 $\rm B, \;D,\;E,\;G$ 의 네 군데 입니다.

이 중에서 꼭짓점 $\rm A$ 로 부터의 거리가 $1$ 이 아닌 점은 $\rm G$ 밖에 없으므로

$1$ 에서 세 번 이동하여 $\rm G$ 에 도착할 확률을 빼면 됩니다.

꼭짓점 $\rm G$ 에 도착하기 위해서는 가로, 세로, 아래 로 각각 한 번씩 이동해야 하므로

$\rm G$ 까지 가는 방법의 수는 가로, 세로, 아래 를 나열하는 경우의 수 $3!=6$ 가지가 있습니다.

따라서 세 번 이동하여 꼭짓점 $\rm G$ 에 도착할 확률은 $6 \times \dfrac{1}{27}=\dfrac{2}{9}$ 가 되고,

결국 우리가 구하는 확률은 $1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}$가 됩니다