미적분과 통계기본_확률_수학적 확률_난이도 하

한 모서리의 길이가 1인 정육면체 \(\rm ABCD-DEFG\) 위에 동점 \(\rm P\)가 있다. 점 \(\rm P\)는 한 번 이동할 때마다 한 꼭짓점에서 그 꼭짓점과 이웃한 세 꼭짓점 중 임의의 한 점으로 이동한다. 예를 들어, 점 \(\rm P\)가 점 \(\rm A\)에서 이동할 때는 세 점 \(\rm B,\;D,\;E\) 중 한 점으로 이동하고, 이 세 꼭짓점으로 이동할 확률은 각각 \(\dfrac{1}{3}\)이다. 이와 같은 방법으로 점 \(\rm P\)가 점 \(\rm A\)에서 출발하여 세 번 이동할 때, 두 점 \(\rm A,\;P\) 사이의 거리가 1일 확률은?

① \(\dfrac{7}{9}\)          ② \(\dfrac{22}{27}\)          ③ \(\dfrac{23}{27}\)          ④ \(\dfrac{8}{9}\)          ⑤ \(\dfrac{25}{27}\)          

정답 ①

혹은 여사건을 이용해서 문제를 풀 수도 있습니다.

세 번 이동하여 갈 수 있는 꼭짓점은 \(\rm B, \;D,\;E,\;G\) 의 네 군데 입니다.

이 중에서 꼭짓점 \(\rm A\) 로 부터의 거리가 \(1\) 이 아닌 점은 \(\rm G\) 밖에 없으므로

\(1\) 에서 세 번 이동하여 \(\rm G\) 에 도착할 확률을 빼면 됩니다.

꼭짓점 \(\rm G\) 에 도착하기 위해서는 가로, 세로, 아래 로 각각 한 번씩 이동해야 하므로

\(\rm G\) 까지 가는 방법의 수는 가로, 세로, 아래 를 나열하는 경우의 수 \(3!=6\) 가지가 있습니다.

따라서 세 번 이동하여 꼭짓점 \(\rm G\) 에 도착할 확률은 \(6 \times \dfrac{1}{27}=\dfrac{2}{9}\) 가 되고,

결국 우리가 구하는 확률은 \(1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}\)가 됩니다