등비급수_난이도 중상 (2026년 10월 고3 미적분 29번)

 

 

어떤 자연수 \(k\) 에 대하여 첫째항과 공차가 모두 정수인 등차수열 \(\{a_n\}\) 과 첫째항이 \(72\) 이고 공비가 \(r\ (r \neq 0)\) 인 등비수열 \(\{b_n\}\) 이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) \(a_k = b_3, \quad a_{k+27} = b_4\)
(나) \(\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty} b_n = a_{k+15}\)

 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_n}{k^n} = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오.
(단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 

정답 $155$