숫자 $0, 1, 2$가 각각 하나씩 적혀 있는 세 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $5$번 반복하여 확인한 $5$개의 수의 평균을 $\overline{X}$라 하자. $\sum \limits_{k=1}^{10} \left ( k^2 \times \mathrm{P} \left ( \overline{X} = \dfrac{k}{5} \right ) \right ) = a$이다. $6 \times a$의 값을 구하시오.
