이차방정식의 켤레근 & 근과 계수와의 관계_난이도 하 (2025년 3월 고2 24번)

 

 

두 실수 $a, \; b$에 대하여 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 한 근이 $2+3i$일 때, $a^2+b^2$의 값을 구하시오. $\left ( \text{단, }i=\sqrt{-1} \right )$

 

정답 $185$

이차방정식 켤레근에 의하여 나머지 한 근은 $2-3i$

$(2+3i)+(2-3i)=4=-a, \quad \therefore a=-4$

$(2+3i)(2-3i)=4+9=13=b, \quad \therefore b=13$

$\therefore a^2+b^2=(-4)^2+13^2=16+169=185$