유리함수와 무리함수의 그래프_난이도 상 (2025년 3월 고2 30번)

 

 

실수 $a$ ($a \neq 0$)과 $2$보다 큰 자연수 $n$에 대하여 집합 $\{x \mid x \neq 2\text{인 실수}\}$에서 정의된 함수 $f(x)$를 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{ax - an}{x - 2} - n & (x < 2 \text{ 또는 } 2 < x < n) \\[7pt] -a \sqrt{x - n} - n & (x \geq n) \end{cases}$이라 하자. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $|f(x)| = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 $n$의 값의 합을 구하시오. 

 

(가) $g(t)=2$를 만족시키는 실수 $t$의 최솟값은 $0$, 최댓값은 $\dfrac{3}{2}n$이다.

(나) $g(|f(5)|) \times g(n) = 6$

 

정답 $68$