두 상수 $a \; (1 \le a \le 2)$, $b$ 에 대하여 함수 $f(x)=\sin (ax+b+\sin x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $f(0)=0, \; f(2\pi)=2\pi a+b$
(나) $f'(0)=f'(t)$ 인 양수 $t$ 의 최솟값은 $4\pi$ 이다.
함수 $f(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대인 $\alpha$ 의 값 중 열린구간 $(0, \; 4\pi)$ 에 속하는 모든 값의 집합을 $A$ 라 하자. 집합 $A$ 의 원소의 개수를 $n$, 집합 $A$ 의 원소 중 가장 작은 값을 $\alpha_1$ 이라 하면, $n\alpha_1 - ab=\dfrac{q}{p}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
