점 $(0, \; 1)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$ 과 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1 \; (a>0)$ 이 있다. 직선 $l$ 이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때, 직선 $l$ 이 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1 \; (a>0)$ 과 제$1$사분면에서 만나는 점의 $x$ 좌표를 $f(\theta)$ 라 하자. $f \left (\dfrac{\pi}{4} \right )=a$ 일 때, $\sqrt{ f' \left ( \dfrac{\pi}{4} \right )}=pe+q$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이고, $p, \; q$ 는 정수이다.)
