그림과 같이 곡선 $y=2x \sqrt{x \sin x^2} \; \left (0 \le x \le \sqrt{\pi} \right )$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x=\sqrt{\dfrac{\pi}{6}}, \; x=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 반원일 때, 이 입체도형의 부피는?
① $\dfrac{\pi^2+6\pi}{48}$ ② $\dfrac{\sqrt{2} \pi^2 + 6\pi}{48}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}\pi^2+6\pi}{48}$ ④ $\dfrac{\sqrt{2} \pi^2 + 12\pi}{48}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}\pi^2+12\pi}{48}$
