역함수의 미분_난이도 상 (2024년 7월 전국연합 고3 미적분 28번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$ 이고 역함수가 존재하는 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 실수 $k \; (k>0)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 는 $h(x) = \begin{cases} \dfrac{g(x)-k}{x-k} & (x \ne k) \\[10pt] ~ \dfrac{1}{3} & (x=k) \end{cases}$ 이다. 함수 $h(x)$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(0)$ 의 값이 최대일 때, $k$ 의 값을 $\alpha$ 라 하자.

 

(가) $h(0)=1$

(나) 함수 $h(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

 

$k=\alpha$ 일 때, $\alpha \times h(9) \times g'(9)$ 의 값은?

 

① $\dfrac{1}{84}$          ② $\dfrac{1}{42}$          ③ $\dfrac{1}{28}$          ④ $\dfrac{1}{21}$          ⑤ $\dfrac{5}{84}$

 

정답 ②