원의 벡터 방정식 & 꼬리에 꼬리를 무는 벡터의 합_난이도 상 (2023년 11월 수능 기하 30번)

 

 

좌표평면에 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $1:3$ 으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 선분 $\mathrm{BC}$ 를 $1:3$ 으로 내분하는 점을 $\mathrm{E}$, 선분 $\mathrm{CA}$ 를 $1:3$ 으로 내분하는 점을 $\mathrm{F}$ 라 하자. 네 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R, \; X}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{DP}} \right | = \left | \overrightarrow{\mathrm{EQ}} \right | = \left | \overrightarrow{\mathrm{FR}} \right | =1$

(나) $\overrightarrow{\mathrm{AX}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{RA}}$

 

$\left | \overrightarrow{\mathrm{AX}} \right |$ 의 값이 최대일 때, 삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 넓이를 $S$ 라 하자. $16S^2$ 의 값을 구하시오.

 

 

정답 $147$